Дії над комплексними числами в алгебраїчній і тригонометричної формі.
Поняття комплексного числа і його геометрична інтерпретація.
Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі.
Тригонометрична форма комплексного числа.
Дії над комплексними числами в тригонометричної формі.
1. Поняття комплексного числа і його геометрична інтерпретація.
Визначення 1. Комплексними числами називаються числа виду
![7 Раб (форма комплексного числа) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-d3b1576f.png)
![7 Раб (форма комплексного числа) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-3dba9222.png)
![7 Раб (комплексними числами алгебри) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-c82ce888.png)
![7 Раб (двох комплексних чисел заданих) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-2b2e186d.png)
![7 Раб (Дії комплексними числами алгебри) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-f27877e7.png)
1). Два комплексних числа
![7 Раб (двох комплексних чисел заданих) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-741def90.png)
![7 Раб (Дії комплексними числами) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-85fe8d37.png)
![7 Раб (двох комплексних чисел заданих) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-feb7c645.png)
![7 Раб (двох комплексних чисел заданих) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-259a6caf.png)
2). Сумою двох комплексних чисел
![7 Раб (двох комплексних чисел заданих) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-51a8ed7a.png)
![7 Раб (Дії комплексними числами) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-877472d1.png)
3). Твором двох комплексних чисел
![7 Раб (форма комплексного числа) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-c9bfe6bb.png)
![7 Раб (комплексними числами алгебри) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-46a6bc2e.png)
Запис комплексного числа у вигляді
![7 Раб (двох комплексних чисел заданих) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-8608ce1b.png)
![7 Раб (Дії комплексними числами алгебри) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-c6349f63.png)
![7 Раб (Дії комплексними числами) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-830ab0ce.png)
Будь-яке дійсне число міститься в безлічі комплексних чисел. Тому його можна записати так:
![7 Раб (Дії комплексними числами) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-2b112ee8.png)
Визначення 2: Комплексне число
![7 Раб (форма комплексного числа) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-38e7f8e0.png)
з числом
![7 Раб (двох комплексних чисел) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-ef484950.png)
![7 Раб (Дії комплексними числами алгебри) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-fe37bdb3.png)
Визначення 3: Модулем комплексного числа
![7 Раб (двох комплексних чисел заданих) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-732eca6f.png)
![7 Раб (двох комплексних чисел заданих) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-d28deee9.png)
![7 Раб (комплексними числами алгебри) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-dcafc9bc.png)
Комплексне число можна зобразити двома способами:
1. Точкою площині з координатами (а; в).
При цьому дійсні числа зображуються точками осі абсцис, яку називають дійсною віссю. а чисто уявні числа- точками осі ординат, яку називають уявною віссю.
2. У вигляді вектора з початком на початку координат (
![7 Раб (Дії комплексними числами алгебри) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-bb6142e3.png)
![7 Раб (двох комплексних чисел) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-81cf9fb6.png)
Кожній точці площини з координатами (а; в) відповідає один і тільки один вектор з початком у точці О (0; 0) і кінцем в точці М (а; в), тому комплексне число
![7 Раб (Дії комплексними числами алгебри) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-7d0b5a03.png)
![7 Раб (форма комплексного числа) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-a3a88f26.png)
![7 Раб (комплексними числами алгебри) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-93204436.png)
Визначення 4: Кут φ між дійсною віссю ОХ і вектором
![7 Раб (двох комплексних чисел) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-25412b76.png)
Будь-яке комплексне число має нескінченну безліч аргументів, що відрізняються один від одного на число, кратне
![7 Раб (Дії комплексними числами) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-4e6e1453.png)
З визначення тригонометричних функцій слід:
Зобразити геометричну інтерпретацію комплексного числа, знайти модуль комплексного числа і головне значення аргументу.
![7 Раб (двох комплексних чисел заданих) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-8fd25d06.png)
![7 Раб (Дії комплексними числами алгебри) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-9cf37a67.png)
![7 Раб (форма комплексного числа) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-e1bf0476.png)
;
![7 Раб (форма комплексного числа) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-a6c1c5d2.png)
![7 Раб (форма комплексного числа) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-9761a182.png)
2. Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі.
Додавання і множення комплексних чисел ми ввели в визначенні комплексного числа. Введемо правила віднімання і ділення комплексних чисел:;
.
Але найзручніше дії над комплексними числами проводити за допомогою правил відповідних дій над многочленами і поняттям уявної одиниці.
к). .
3. Тригонометрична форма комплексного числа.
Зобразимо комплексне число
![7 Раб (двох комплексних чисел заданих) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-05ad8f08.png)
![7 Раб (двох комплексних чисел) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-15844029.png)
Позначимо модуль комплексного числа.
Аргументом комплексного числа називається кут φ, який обчислюється за допомогою формул:
Підставами отримані формули в
![7 Раб (двох комплексних чисел) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-f2903ba8.png)
- тригонометрическая форма комплексного числа.
Алгоритм переходу з алгебри форми комплексного числа в тригонометричну:
Зобразити геометрично число
![7 Раб (комплексними числами алгебри) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-28bb43b5.png)
Скласти рівняння:
![7 Раб (форма комплексного числа) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-31d8760e.png)
Записати z в тригонометричної формі.
Приклади: а) .Перевесті числа з алгебраїчної форми в тригонометричну.
2. Зобразимо геометрично:
![7 Раб (Дії комплексними числами алгебри) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-63bfe0d3.png)
Значить φ належить I чверті.
2. Зобразимо геометрично:
![7 Раб (Дії комплексними числами) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-63b26fb2.png)
Значить 3 пункт можна опустити.
2. Зобразимо геометрично:
![7 Раб (Дії комплексними числами) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-873422e5.png)
φ належить II чверті.
б). перевести з тригонометричної форми в алгебраїчну:
.
.
4. Дії над комплексними числами в тригонометричної формі.
Нехай дано два числа в тригонометричної формі: і.
1). При множенні двох комплексних чисел, заданих в тригонометричної формі, їх модулі перемножуються, а аргументи складаються:
.
2). При розподілі двох комплексних чисел, заданих в тригонометричної формі, їх модулі діляться, а аргументи віднімаються:
.
3). При зведенні комплексного числа Вn-ую ступінь використовується формула:
, яка називається формулою Муавра.
4). Для витягання кореня n-го ступеня з комплексного числа використовується формула:
.
![7 Раб (двох комплексних чисел заданих) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-6bdad7c1.png)
![7 Раб (Дії комплексними числами алгебри) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-05fdd922.png)
![7 Раб (двох комплексних чисел) 7 Раб](https://images-on-off.com/images/133/7rab-6ef31bcc.png)