Як числових характеристик системи випадкового двовимірного вектора (X, Y) зазвичай розглядаються початкові і центральні моменти різних порядків.
Початковим моментом порядку k + s системи двох випадкових величин (X, Y) або двовимірного випадкового вектора називається математичне сподівання добутку X k на Y s
Центральним моментом порядку k + s системи двох випадкових величин (X, Y) називається математичне сподівання добутку на
де. - центровані випадкові величини.
Центрованої випадкової величиною називається відхилення випадкової величини від її математичного очікування.
Для системи дискретних випадкових величин (X, Y) отримаємо
Для системи неперервних випадкових величин (X, Y)
Порядком початкового (або центрального моменту) називається сума його індексів k + s.
Початкові моменти першого порядку:
являють собою математичні очікування випадкових величин X і Y.
Центральні моменти першого порядку природно дорівнюють нулю.
Початкові моменти другого порядку:
Центральні моменти другого порядку:
Перші два моменти представляють дисперсію, а третій називається коваріації (або кореляційним моментом) випадкових величин (X, Y), позначається Kxy:
За визначенням ковариации
тобто при зміні індексів місцями ковариация не змінюється.
Дисперсію випадкових величин можна розглядати як окремий випадок ковариации:
тобто дисперсія випадкових величин є не що інше, як "ковариация її з самою собою". (Для незалежних випадкових величин ковариация дорівнює 0. Довести самостійно).
Ковариацию Kxy зручно висловлювати через початкові моменти нижчих порядків:
Корисно запам'ятати цю формулу: ковариация двох випадкових величин дорівнює математичному очікуванню їх твори мінус твір математичних очікувань.
Коваріація характеризує не тільки ступінь залежності випадкових величин, але також їх розсіювання навколо точки (mx, my).
Розмірність ковариации дорівнює добутку розмірностей випадкових величин X і Y. Щоб отримати безрозмірну величину, що характеризує тільки залежність, ковариацию ділять на твір С.К.О. sx sy.
Величина rxy називається коефіцієнтом кореляції випадкових величин X і Y. Цей коефіцієнт характеризує ступінь тільки лінійної залежності цих величин. Залежність проявляється в тому, що при зростанні однієї випадкової величини інша виявляє тенденцію також зростати (або спадати). У першому випадку rxy> 0 і кажуть, що випадкові величини X і Y пов'язані позитивною кореляцією, у другому rxy <0, и корреляция отрицательна.
Для будь-яких випадкових величин X і Y
Якщо ковариация двох випадкових величин дорівнює нулю: Kxy = 0, то випадкові величини X і Y називаються некоррелірованнимі. якщо Kxy ¹0, то корельованими.
З незалежності випадкових величин слід їх некоррелірованні; але з некоррелированности випадкових величин (rxy = 0) ще не випливає їх незалежність. Якщо rxy = 0, це означає тільки відсутність лінійного зв'язку між випадковими величинами; будь-який інший вид зв'язку може при цьому бути присутнім.