Математичним очікуванням (середнім значенням) випадкового процесу X (t) називають невипадково функцію часу mx (t), значення якої в кожен момент часу дорівнює математичному очікуванню відповідного перетину випадкового процесу
При цьому mx (t) являє як би вісь симетрії окремих реалізацій, т. Е. Ступінь розкиданості щодо середньої осі.
Для стаціонарних процесів
Для ергодичної процесів
Середній квадрат випадкового процесу X (t) характеризує середню потужність процесу і визначається за формулою:
Для стаціонарних процесів
Для ергодичної процесів
Дисперсією випадкового процесу X (t) називають невипадково функцію часу Dx (t), значення якої в кожен момент часу дорівнює дисперсії відповідного перетину випадкового процесу
Для стаціонарних процесів
Для ергодичної процесів
Математичне сподівання і дисперсія характеризують процес в окремих перетинах, але не враховують їх взаємозв'язок, цей взаємозв'язок характеризується кореляційною функцією.
Кореляційної (автокорреляционной) функцією випадкового процесу X (t) називають невипадково функцію двох аргументів Rxx (t1, t2), яка для кожної пари значень аргументів t1 і t2 дорівнює кореляційному моменту відповідних перетинів випадкового процесу
Кореляційна функція характеризує ступінь статистичного взаємозв'язку між двома перетинами випадкового процесу.
Взаємно кореляційна функція дорівнює
Взаємно кореляційна функція характеризує ступінь статистичного взаємозв'язку між перетинами для двох процесів.
Для Гаусcовскіх випадкових процесів визначальною характеристикою є двовимірна щільність імовірності, тому кореляційна функція повністю характеризують статистичні властивості випадкового процесу.
Для стаціонарних процесів кореляційна функція залежить від різниці аргументів = t2 -t1
При цьому дисперсія дорівнює
Для ергодичної процесів
Основні властивості кореляційної функції
1. Початкове значення кореляційної функції дорівнює дисперсії
2. Значення Rx () при будь-якому не може перевищувати її початкового значення
3. Кореляційна функція симетрична щодо своїх аргументів
Для взаємно кореляційних функцій це не справедливо
4. Кореляційна функція стаціонарних процесів є парною функцією, а взаємно кореляційна - непарної
5. Кореляційна функція суми Z (t) = X (t) + Y (t), де X (t) і Y (t) - випадкові процеси
6. Кореляційна функція твори Z (t) = X (t) Y (t), де X (t) -Випадкові процес, а Y (t) - невипадкова перешкода
7. Кореляційна функція суми Z (t) = X (t) + Y (t), де X (t) - випадковий процес, а Y (t) - невипадкова функція
8. Для автокореляційної функції можна записати вираз
Для взаємно кореляційної функції можна записати вираз