Декартового добутку МНОЖЕСТВ.СООТВЕТСТВІЯ, ФУНКЦІЇ, ВІДНОСИНИ
МЕТА ЛЕКЦІЇ - вивчення властивостей декартова твори множин, і пов'язаних з ним відповідностей, функцій і відносин.
Крім розглянутих в першій лекції традиційних операцій над множинами існують і інші дії з множинами, які дозволяють вирішувати багато завдань, що мають практичне застосування. Зокрема, до таких дій відноситься декартово (пряме) твір множин. Свою назву декартовій твір отримало від того, що запропоноване Декартом координатне уявлення точок площині, було історично першим прикладом прямого твори.
Декартово (пряме) твір множин
Декартово (пряме) твір множин Х і-це безліч, що позначається. елементами якого є впорядковані пари. перша компонента яких належить множині Х. а друга безлічі.
Здається в вигляді
Згідно з визначенням елементами прямого твори множин є впорядковані пари, складені з елементів вихідних множин. У цих парах перший елемент (компонента) завжди належить першому безлічі, а другий елемент (компонента) другого. Порядок множин визначається вихідної записом і, якщо. то. так як в впорядкованої парі компонента має номер 1, а компонента - номер 2, але в впорядкованої парі. - номер 1, а - номер 2.
Геометричне уявлення цього безлічі наведено на рис. 2.1, а.
Приклад 2.2. Нехай A і B - відрізки дійсної осі. Пряме твір відіб'ється заштрихованим прямокутником, показаним на рис. 2.1, б.
Приклад 2.3. Знайти декартовій твір множин і.
Порядок перерахування елементів байдужий, важливий тільки порядок елементів в парі (впорядкована пара).
З наведених прикладів видно, що властивості прямого твори відрізняються від властивостей звичайного твори в арифметичному сенсі. Зокрема, пряме твір змінюється при зміні порядку співмножників, тобто. отже, декартово твір не коммутативно. При цьому він не тільки не коммутативно, але і не асоціативно, але дистрибутивно щодо об'єднання, перетину і симетричної різниці множин
Пряме твір множин - операція багатомісна
В результаті виходять безлічі, що складаються з впорядкованої послідовності виду
Такі послідовності називаються кортежами або векторами.
Кортеж довжини - кінцева послідовність елементів. в якій кожен елемент займає певне місце відповідно до запису вихідних множин декартова твори.
Самі елементи при цьому називаються компонентами (координатами) кортежу, які нумеруються зліва направо (перша компонента, друга компонента і т.д.).
Приклади кортежів: безліч людей, що стоять в черзі, числа, що виражають координати точки на площині і т.п. У всіх цих множинах місце кожного елемента є цілком визначеним і не може бути безпідставно змінено.
Число елементів кортежу (вектора) називається його довжиною. Кортеж з двох компонентів називається парою, з трьох - трійкою і т.д. Для завдання n- компонентного кортежу використовуються круглі дужки, в яких через кому перераховуються компоненти кортежу, наприклад a = (a1. A2. An).
Основні відмінності понять кортежу (вектора) і безлічі полягають в наступному:
1) в безлічі порядок елементів не грає ролі, а кортежі, що відрізняються порядком елементів, різні, навіть в разі, коли вони мають однаковий склад;
2) в безлічі всі елементи різні, а в кортежі координати можуть повторюватися.
Таким чином, на відміну від звичайного безлічі в кортежі (векторі) можуть бути однакові компоненти: два однакових слова у фразі, однакові чисельні значення координат точки на площині і т.п.
Таким чином, декартовій твір дозволяє отримувати вектора будь-яких розмірностей. Ця операція відрізняється від операцій об'єднання і перетину тим, що в результаті перемноження прямим способом виходять об'єкти, що містять елементи, що відрізняються за своєю природою від елементів вихідних множин.
Якщо перемножити n раз одне і те ж безліч, то вийде безліч. зване ступенем безлічі
Ступенем декартового твори називається число множин n. що входять в це декартовій твір.