Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Властивості спільного рішення.
1) Оскільки постійна С - довільна величина, то взагалі кажучи диференціальне рівняння має безліч рішень.
2) При будь-яких початкових умовах х = х0. у (х0) = у0 існує таке значення С = С0. при якому рішенням диференціального рівняння є функція у = j (х, С0).
Визначення. Рішення виду у = j (х, С0) називається приватним рішенням диференціального рівняння.
Визначення. Завданням Коші (Огюстен Луї Коші (1789-1857) - французький математик) називається знаходження будь-якого приватного рішення диференціального рівняння виду у = j (х, С0), який задовольняє початковим умовам в (х0) = у0.
Теорема Коші. (Теорема про існування та єдиності розв'язку диференціального рівняння 1-го порядку)
Якщо функція f (x, y) неперервна в деякій області D в площині XOY і має в цій області безперервну приватну похідну. то яка б не була точка (х0. у0) в області D, існує єдине рішення рівняння. певне в деякому інтервалі, що містить точку х0. приймає при х = х0 значення j (х0) = у0. тобто існує єдине рішення диференціального рівняння.
Визначення. Інтегралом диференціального рівняння називається будь-яке рівняння, що не містить похідних, для якого ця диференціальне рівняння є наслідком.
Приклад. Знайти спільне рішення диференціального рівняння.
Загальне рішення диференціального рівняння шукається за допомогою інтегрування лівої і правої частин рівняння, яке попередньо перетворено наступним чином:
- це спільне рішення вихідного диференціального рівняння.
Припустимо, задані деякі початкові умови: x0 = 1; y0 = 2, тоді маємо
При підстановці отриманого значення постійної в загальне рішення отримуємо приватне рішення при заданих початкових умовах (рішення задачі Коші).
Визначення. Інтегральної кривої називається графік y = j (x) рішення диференціального рівняння на площині ХОY.
Визначення. Особливим рішенням диференціального рівняння називається таке рішення, у всіх точках якого умова єдиності Коші (див. Теорема Коші.) Не виконується, тобто в околиці деякої точки (х, у) існує не менше двох інтегральних кривих.
Особливі рішення не залежать від постійної С.
Особливі рішення не можна отримати з загального рішення ні при яких значеннях постійної С. Якщо побудувати сімейство інтегральних кривих диференціального рівняння, то особливе рішення буде зображуватися лінією, яка в кожній своїй точці стосується принаймні однієї інтегральної кривої.
Відзначимо, що не кожне диференціальне рівняння має особливі рішення.
Диференціальні рівняння першого порядку.
Визначення. Диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення, що зв'язує функцію, її першу похідну і незалежну змінну, тобто співвідношення виду:
Якщо таке співвідношення перетворити до вигляду то це диференціальне рівняння першого порядку буде називатися рівнянням, дозволеним відносно похідної.
Перетворимо такий вислів далі:
Функцію f (x, y) представимо у вигляді: тоді при підстановці в отримане вище рівняння маємо:
- це так звана диференціальна форма рівняння першого порядку.
Далі розглянемо докладніше типи рівнянь першого порядку та методи їх вирішення.
23.Теорема Коші існування та єдиності розв'язку диференціального рівняння першого порядку (без доведення).
Теорема Коші. (Теорема про існування та єдиності розв'язку диференціального рівняння 1-го порядку)
Якщо функція f (x, y) неперервна в деякій області D в площині XOY і має в цій області безперервну приватну похідну. то яка б не була точка (х0. у0) в області D, існує єдине рішення рівняння. певне в деякому інтервалі, що містить точку х0. приймає при х = х0 значення j (х0) = у0. тобто існує єдине рішення диференціального рівняння.
24.Діфференціальние рівняння першого порядку: з перемінними, однорідні, лінійні.
Визначення. Диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення, що зв'язує функцію, її першу похідну і незалежну змінну, тобто співвідношення виду:
Якщо таке співвідношення перетворити до вигляду то це диференціальне рівняння першого порядку буде називатися рівнянням, дозволеним відносно похідної.
Перетворимо такий вислів далі:
Функцію f (x, y) представимо у вигляді: тоді при підстановці в отримане вище рівняння маємо:
- це так звана диференціальна форма рівняння першого порядку.
Далі розглянемо докладніше типи рівнянь першого порядку та методи їх вирішення.
Нехай функція f (x) - визначена і неперервна на деякому інтервалі
a Схожі статті