Перейти до змісту на сторінці: 19
У методичному посібнику наведено класифікацію методів вирішення СЛАР і алгоритми їх застосування. Методи наведені в формі, що дозволяє їх використання без звернення до інших джерел. Передбачається, що матриця системи неособо, тобто det A 6 = 0.
§1. Норми векторів і матриць
Нагадаємо, що лінійне простір Ω елементів x називається нормованим, якщо в ньому введена функція k · k Ω. певна для всіх елементів простору Ω і задовольняє умовам:
1. kxk Ω ≥ 0, причому kxk Ω = 0 x = 0 Ω;
2. kλxk Ω = | λ | · Kxk Ω;
3. kx + yk Ω ≤ kxk Ω + kyk Ω.
Домовимося надалі позначати малими латинськими буквами вектори, причому будемо вважати їх вектор-стовпцями, великими латинськими буквами позначимо матриці, а грецькими буквами станемо позначати скалярні величини (зберігаючи за буквами i, j, k, l, m, n позначення для цілих чисел) .
До числа найбільш уживаних норм векторів відносяться наступні:
Тут через λ i (A T A) позначено власне число матриці A T A, де A T - матриця, транспонована до A. Крім зазначених вище трьох основних властивостей норми, відзначимо тут ще два:
причому в останньому нерівності матрична норма підпорядкована відповідній векторної нормі. Домовимося використовувати в подальшому тільки норми матриць, підлеглі нормам векторів. Відзначимо, що для таких норм справедливо рівність: якщо E - одинична матриця, то kEk = 1.
§2. Матриці з діагональним переважанням
Визначення 2.1. Матриця A з елементами n i, j = 1 називається матрицею з діагональним переважанням (величини δ). якщо мають місце нерівності
| A ii | - | a ij | ≥ δ> 0, i = 1, n.
Перейти до змісту на сторінці: 19
§3. Позитивно певні матриці
Визначення 3.1. Симетричну матрицю A будемо називати по-
ложітельно певної, якщо квадратична форма x T Ax з цією матрицею приймає лише позитивні значення при будь-якому векторі x 6 = 0.
Критерієм позитивної визначеності матриці може служити позитивність її власних чисел або позитивність її головного мінору.
§4. Число обумовленості СЛАР
При вирішенні будь-якої задачі, як відомо, мають місце три типи похибок: непереборна похибка, методична похибка і похибка округлення. Розглянемо вплив непереборний похибки вихідних даних на рішення СЛАР, нехтуючи похибкою округлення і беручи до уваги відсутність методичної похибки.
Будемо вважати, що в СЛАР
де ν (A) = kAkkA -1 k.
Число ν (A) називається числом обумовленості системи (4.1) (або матриці A). Виявляється, що завжди ν (A) ≥ 1 для будь-якої матриці A. Оскільки величина числа обумовленості залежить від вибору матричної норми, то при виборі конкретної норми будемо відповідно індексувати і ν (A). ν 1 (A), ν 2 (A) або ν ∞ (A).
У разі ν (A) 1 систему (4.1) або матрицю A називають погано обумовленою. У цьому випадку, як це випливає з оцінки
Перейти до змісту на сторінці: 19
(4.2). похибка рішення системи (4.1) може виявитися неприйнятно великий. Поняття прийнятність або неприйнятність похибки визначається постановкою завдання.
Для матриці з діагональним переважанням легко отримати оцінку її числа обумовленості зверху. Має місце
Теорема 4.1. Нехай A - матриця з діагональним переважанням величини δ> 0. Тоді вона неособо і ν ∞ (A) ≤ kAk ∞ / δ.
§5. Приклад погано обумовленої системи.
Розглянемо СЛАР (4.1). в якій