Експоненціальне згладжування є одним з найбільш поширених прийомів, використовуваних для згладжування часових рядів, а також для прогнозування. В основі процедури згладжування лежить розрахунок експоненційних ковзають середніх згладжувати ряду.
Головне достоїнство прогнозної моделі, заснованої на експоненційних середніх, полягає в тому, що вона здатна послідовно адаптуватися до нового рівня процесу без значного реагування на випадкові відхилення.
Історично метод незалежно був розроблений Брауном і Холтом. Холт також розробив моделі експоненціального згладжування для процесів з постійним рівнем, процесів з лінійним зростанням і процесів з сезонними ефектами.
Процедура простого експоненціального згладжування здійснюється за такими формулами:
Xt -1. Фактичне спостереження в момент t -1;
St. Значення експоненціального середнього в момент t;
α. Параметр згладжування, α = const, α ε (0; 1].
Експоненціальне середнє в момент t тут виражено як зважена сума поточного спостереження і експоненціального середнього минулого спостереження з вагами α і (1 - α) відповідно. Якщо послідовно використовувати дане рекурентне співвідношення, то значення St можна виразити через значення часового ряду X:
Таким чином, величина St виявляється зваженою сумою всіх членів ряду. Причому значення ваг зменшуються експоненціально залежно від віддаленості спостереження щодо моменту t. Це і пояснює назву «експоненціальне середнє».
Експоненціальне згладжування можна уявити як фільтр, на вхід якого у вигляді потоку послідовно надходять члени вихідного ряду, а на виході формуються значення експоненційних середніх. Причому, згладжений ряд St має теж математичне очікування, що і ряд X. але меншу дисперсію.
При високому значенні α дисперсія згладженого ряду не значно відрізняється від дисперсії ряду X. Чим менше α. тим більшою мірою скорочується дисперсія згладженого ряду (тобто придушуються коливання вихідного ряду).
Далі експоненціальне середнє можна використовувати для побудови короткострокових прогнозів. У цьому випадку передбачається, що вихідний ряд описується моделлю:
at. Змінюється в часі середній рівень ряду;
errt. Випадкові неавтокоррелірованние відхилення з нульовим математичним очікуванням.
Прогнозна модель має вигляд:
. Прогноз, зроблений в момент T на τ одиниць часу (кроків) вперед;
Оцінкою параметра моделі aT служить експоненціальне середнє ряду ST. Таким чином, всі властивості експоненціального середнього поширюються на прогнозну модель. Зокрема, якщо привести рекуррентную формулу до наступного вигляду:
і розглядати St -1 як прогноз на один крок вперед, то величина (Xt -1 - St -1) є похибка цього прогнозу, а новий прогноз St виходить в результаті коригування попереднього прогнозу з урахуванням його помилки. В цьому і полягає суть адаптації.
На основі простого експоненціального згладжування були розроблені більш складні моделі згладжування часових рядів, що містять періодичні сезонні коливання і / або володіють тенденцією зростання.
Дана система дозволяє будувати поряд з простим експоненціальним згладжуванням моделі, що відображають ефекти зростання (лінійного, експоненціального або затухаючого) і сезонності (адитивного або мультиплікативного), якими володіє вихідний ряд.
У загальному вигляді рекуррентная формула експоненціального згладжування записується в такий спосіб:
де множники d 1 і d 2 визначаються в залежності від обраної моделі згладжування. Наприклад, при простому експоненціальному згладжуванні, розглянутому вище, d 1 = Xt. d 2 = St -1.
Знайшли помилку? Виділіть текст з помилкою і натисніть кнопку "Повідомити про помилку" або Ctrl + Enter.