Прочитавши цю главу, ви будете знати:
o декурсівних і антисипативному способи;
Розрахунок вартості підприємства (бізнесу), як і більшість економічних розрахунків, грунтується на обчисленні відсотків декурсівних або антисипативному (попередніми) способом і теорії ануїтетів.
Відсотки - це дохід в різних формах від надання фінансових коштів (капіталу) в борг або інвестицій.
Процентна ставка - показник, що характеризує величину доходу або інтенсивність нарахування відсотків.
Коефіцієнт нарощення - величина, що показує співвідношення нарощеного початкового капіталу.
Період нарахування - проміжок часу, після закінчення якого нараховуються відсотки (виходить дохід). Період нарахування може ділитися на інтервали нарахування.
Інтервал нарахування - мінімальний період, по закінченні якого відбувається нарахування частини відсотків. Відсотки можуть нараховуватися в кінці інтервалу нарахування (декурсівних спосіб) або на початку (антисипативному або попередній спосіб).
декурсівних спосіб
Декурсівних процентна ставка (позичковий відсоток) - це відношення суми доходу, нарахованого за певний період, до суми, наявної на початок даного періоду.
Коли після нарахування доходу за період цей дохід виплачується, а в наступний період процентний дохід нараховується на початкову суму, тоді використовується формули нарахування простих ставок позичкових відсотків.
Якщо ввести позначення:
i (%) - річна ставка позичкового відсотка (income); i - відносна величина річної ставки відсотків; I - сума процентних грошей, виплачуваних за період (рік);
P - загальна сума процентних грошей за весь період нарахування;
Р - величина первісної грошової суми (present value);
F - нарощена сума (future value);
п - кількість періодів нарахування (років);
d - тривалість періоду нарахування в днях;
К - тривалість року в днях К = 365 (366), то декурсівних процентна ставка (i):
Тоді коефіцієнт нарощення:
Якщо інтервал нарощення менше одного періоду (року), то
Визначення величини нарощеної суми F (future value) називається компаундінг (compounding).
Приклад. Кредит 25 000 руб. виданий на 3 роки за простою ставкою 12% річних. Визначити нарощену суму.
Приклад. Кредит 25 000 руб. виданий на 182 дня, рік звичайний, за простою ставкою відсотків 12% річних. Визначити нарощену суму.
Іноді виникає необхідність вирішити зворотну задачу: визначити величину первісної (поточної, наведеної) суми Р (present value), знаючи, якою має бути нарощена сума F (future value):
Визначення величини первісної (поточної, наведеної) суми р (present value) називається дисконтуванням (discounting).
Приклад. Через 3 роки необхідно мати суму 16 500 руб. Яку суму в цьому випадку необхідно покласти на депозит за простою ставкою 12% річних.
Перетворюючи формули 6.1-6.3, можна отримати
Процентні ставки в різні періоди можуть змінюватися.
де n1 - кількість періодів нарахування при ставці відсотків i1 в кінці періодів нарахування при ставці відсотків і т.д.
Тоді при JV-періодах нарахування нарощена сума (N - номер останнього періоду) при будь-якому:
де коефіцієнт нарощення: (6.5)
Приклад. Кредит у розмірі 250 000 руб. видається на 2,5 року за простою ставкою відсотків. Відсоткова ставка за перший рік i = 18%, а за кожне наступне півріччя вона зменшується на 1,5%. Визначте коефіцієнт нарощення і нарощену суму.
За формулою (6.4): F = 250 000 х 1,405 = 351 250 руб.
Якщо пк = 1, то, (6.7)
де коефіцієнт нарощення :. (6.8)
Приклад. Кредит у розмірі 250 000 руб. видається на 5 років за простою ставкою відсотків. Відсоткова ставка за перший рік i = 18%, а наступний рік вона зменшується на 1,5%. Визначте коефіцієнт нарощення і нарощену суму.
За формулою (6.8): kn = 1 + 0,18 + 0,165 + 0.15 + 0,135 + 0,12 = 1,75.
За формулою (6.7): F = 250 000 x 1,75 = 437 500 руб.
Коли після нарахування доходу за період цей дохід не виплачується, а приєднується до грошовій сумі, що є на початок цього періоду (до суми, яка створила цей дохід), і в наступний період процентний дохід нараховується на всю цю суму, тоді використовуються формули нарахування складних відсотків.
Якщо до представлених позначенням додати:
ic- відносна величина річної ставки складних відсотків;
j - номінальна ставка складних позичкових відсотків, по якій обчислюється поінтервального ставка складних позичкових відсотків, то за період нарахування, як рік, нарощена сума - складе:. За другий період (через рік): і т.д.
Через п років нарощена сума складе:
де коефіцієнт нарощення knc дорівнює:
Приклад. Кредит 25 000 руб. виданий на 3 роки за складною ставкою 12% річних. Визначте нарощену суму.
Вирішуючи зворотну задачу:
де - коефіцієнт дисконтування.
Коефіцієнт дисконтування - величина, зворотна коефіцієнту нарощення:
Приклад. Через 3 роки необхідно мати суму 16 500 руб. Яку суму в цьому випадку необхідно вкласти на депозит за складною ставкою 12% річних.
Порівнюючи коефіцієнти нарощення, при нарахуванні простих і складних відсотків видно, що при п> 1. Чим більше періодів нарахування, тим більше відмінність у величині нарощеної суми при нарахуванні складних і простих відсотків.
Можна визначити інші параметри:
Якщо кількість періодів нарахування складних відсотків п не є цілим числом, то коефіцієнт нарощення можна уявити в двох видах:
де п - не кратна цілому числу періодів нарахування складних відсотків;
де п = ПЦ + d - загальна кількість періодів (років) нарахування, що складається з цілих і нецілого періодів нарахування; пп - кількість цілих (повних) періодів (років) нарахування; d - кількість днів нецілих (неповного) періоду нарахування; К = 365 (366) - кількість днів в році; ic- відносна величина річної ставки складних відсотків.
Обидва варіанти мають право, але дають різні значення через різну точності обчислення.
Приклад. Кредит 25 000 руб. виданий на 3 роки 6 місяців за складною ставкою 12% річних. Визначте нарощену суму.
1) F = 25 000 (1 + 0,12) 3,5 = 25 000 x 1,4868 = 37 170 руб .;
2) F = 25 000 (1 + 0,12) 3 (1 + (180. 365) 0,12) = 25 000 x 1,4049 x 1,0592 = 37 201 руб.
Тоді нарощена сума в кінці першого періоду (року) нарахування:
У другому періоді (через рік):
Тоді коефіцієнт нарощення:
Приклад. Кредит у розмірі 250 000 руб. видається на 5 років за складною ставкою відсотків. Відсоткова ставка за перший рік i = 18%, а наступний рік вона зменшується на 1,5%. Визначте коефіцієнт нарощення і нарощену суму.
За формулою (6.13): F = 250 000 x 1,75 = 502 400 руб.
Якщо нарахування складних відсотків виробляється поінтервального, тобто кілька разів за період, то формула нарахування за інтервал
де j = i - номінальна ставка складних позичкових відсотків; т - кількість інтервалів нарахування в періоді (поквартально, щомісячно і т.д.).
Дохід за інтервал приєднується до грошовій сумі, що є на початок цього інтервалу.
Тоді нарощена сума при поінтервального нарахуванні за кожен період через п періодів (років) складе
Крім того, можна визначити інші параметри:
Приклад. Кредит 25 000 руб. виданий на п = 3 роки за складною ставкою 12% річних, виплата по півріччях т = 2. Визначте нарощену суму.
Якщо кількість періодів нарахування складних відсотків п не є цілим числом, то коефіцієнт нарощення можна представити у вигляді
де пп - кількість цілих (повних) періодів (років) нарахування; р - кількість цілих (повних) інтервалів нарахування, але менше загальної кількості інтервалів в періоді, тобто р Приклад. Кредит 25 000 руб. виданий на і = 3 роки 8 місяців, 12 днів по складній ставці 12% річних, виплата по півріччях т = = 2. Визначте нарощену суму.