Мал. 1. Графік функції $ y = f (x) $.
Схема для побудови графіка функції
- Область визначення $ D (f) $ і область значення $ E (f) $.
- Парність ($ f \ left (x \ right) = f \ left (-x \ right)) $, непарність ($ f \ left (x \ right) = - f \ left (x \ right)) $, періодичність ( $ f \ left (x \ right) = f \ left (x + T \ right)) $.
- Точки перетину з осями координат і проміжки, де $ f \ left (x \ right)> 0 $ і $ f \ left (x \ right)
- Дослідити на зростання $ '\ left (x \ right)> 0) $, спадання $' \ left (x \ right)
- Дослідити на точки перегину і інтервали опуклості $ (f ^ \ left (x \ right)> 0) $, угнутості ($ f ^ \ left (x \ right)
- Обчислити межі на кордонах області визначення.
- Значення в додаткових точках.
- Графік.
Правила побудови графіків
- $ Y = f (x-a) $ виходить з графіка $ f (x) $ зрушенням уздовж осі $ Ox $ на $ | a | $ вправо, якщо $ a> 0 $ і вліво, якщо $ a
- $ Y = f \ left (x \ right) + b $ виходить з графіка $ f (x) $ зрушенням уздовж осі $ Oy $ на $ | b | $ вгору, якщо $ b> 0 $ і вниз, якщо $ \ b
- $ Y = f (kx) $ виходить з графіка $ f (x) $ стисненням до осі $ Oy $, якщо $ k> 1 $ і розтягуванням, якщо $ 0
- $ Y = kf (x) $ виходить з графіка $ f (x) $ розтягуванням від осі $ Ox $ в $ k $ раз, якщо $ k> 1 $ і стисненням до осі $ Ox $ в $ \ frac $ раз, якщо $ 0
- $ Y = f (-x) $ виходить з графіка $ f (x) $ симетричним відображенням відносно осі $ Oy $.
- $ Y = -f (x) $ виходить з графіка $ f (x) $ симетричним відображенням відносно осі $ Ox $.
- $ Y = | f \ left (x \ right) | $ виходить з графіка $ f (x) $ наступним чином: частина графіка $ f (x) $, що лежить над віссю $ Ox $ залишається незмінна, а лежить під $ Ox $ відображається симетрично щодо осі $ Oy $.
- $ Y = f \ left (| x | \ right) $ виходить з графіка $ f (x) $ наступним чином: частина графіка $ f (x) $, що лежить праворуч від осі $ Oy $ залишається незмінна, а потім ця частина відображається симетрично щодо осі $ Oy $, замінюючи частину, що лежить зліва від $ Oy $.
Приклад дослідження і побудови функції
Дослідити функцію і побудувати її графік:
\ [Y = \ frac \]- Область визначення: $ \ left (- \ infty, 0 \ right) (0, \ infty) $. Область значення: $ \ left (- \ infty, 1-2 \ sqrt \ right] [1 + 2 \ sqrt, \ infty) $
- функція ні парна, ні непарна, неперіодичних.
- Точок перетину з осями координат немає.
При $ x \ in \ left (- \ infty, 0 \ right) $ функція негативна, при $ x \ in \ left (0, \ infty \ right) $ функція позитивна.
Методом інтервалів отримуємо, що
Функція зростає при $ x \ in \ left (- \ infty, - \ frac> \ right) \ left (\ frac>, \ infty \ right) $ і убуває при $ x \ in \ left (- \ frac>, 0 \ right) \ left (0, \ frac> \ right) $
Максимум функції: $ \ left (- \ frac>, 1-2 \ sqrt \ right) $
Мінімум функції: $ \ left (\ frac>, 1 + 2 \ sqrt \ right) $
Методом інтервалів отримуємо, що функція опукла при $ x \ in \ left (0, \ infty \ right) $ і увігнута при $ x \ in \ left (- \ infty, 0 \ right) $
