![Функція аргументу arg (z) (можливе виділення однозначних) Функція аргументу arg (z)](https://images-on-off.com/images/164/funktsiyaargumentaargz-eacec6d8.jpg)
Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Функція є багатозначною, що випливає з способу введення полярних координат, а саме аргумент числа визначається з точністю до доданка, кратного.
При переміщенні будь-якої точки по довільній безперервної кривої аргумент числа безперервно змінюється. При цьому, якщо крива замкнута, то можливі два випадки. В одному випадку точка після обходу повертається у вихідне положення з колишнім значенням аргументу. Так буде для будь-якої кривої, що не здійснює обходу навколо початку координат. В іншому випадку аргумент змінюється на величину або в залежності від напрямку обходу, а при n-кратному обході - на або. Це має місце в разі, коли точка при переміщенні обходить початок координат.
Аргумент як функція точки буде однозначною функцією в області, яка не містить кривих, що здійснюють обхід точки. В якості такої області можна взяти площину з розрізом з будь-якого променю, що виходить з початку координат. Зокрема, з розрізом по дійсній негативною полуоси - область. Можна вибрати розріз по дійсній позитивної півосі - область. де головне значення аргументу визначається рівністю. Зауважимо, що аргументи числа, геометрично відповідного однієї і тієї ж точки областей і. можуть бути різні. Наприклад, в області. а в області (рис. 3.4).
Межами кожної з областей і є два "берега" відповідної півосі, обхід кордонів на малюнках вказано стрілками.
![Функція аргументу arg (z) (можливе виділення однозначних) Функція аргументу arg (z)](https://images-on-off.com/images/164/funktsiyaargumentaargz-98206268.png)
Приклад 6. Дослідити можливість виділення однозначних гілок неоднозначною, функції.
Рішення. Функція являетсянеоднозначной як зворотна до неоднолістной функції. Її неоднозначність (двозначність) пов'язана з неоднозначністю аргументу функції. Для кожного значення отримуємо два значення аргументу: і. Так як і. то.
У комплексній площині з розрізом по променю [0; + (можливе виділення однозначних гілок аргументу. Можна розглянути дві функції: і. Перша з них переводить область площину з розрізом в область. Де (Рис. 3.5), так як для маємо нерівність.
Позитивний обхід кордонів вказано стрілками. У точках кордону області однозначність порушується, але в силу зробленого розрізу дійсні позитивні значення (z = x, x> 0) розглядаються двічі на верхньому «березі» і на нижньому «березі». Наприклад, при z = 1 це точка верхнього «берега» і точка нижнього «берега». При відображенні точкам верхнього «берега» відповідають позитивні значення (точка. А точкам нижнього «берега» негативні значення (точка).
Граничним точкам верхнього «берега» відповідають негативні значення функції (точка. А точкам нижнього «берега» позитивні значення (точка).
З наведених міркувань сформулюємо наступне твердження.
Двозначна функція відображає площину з розрізом по дійсній позитивної півосі (область) на верхню півплощини (область) і нижню (область). В області можливе виділення однозначних гілок - двох однозначних функцій, одна з яких відображає на. інша - на. Однозначне відображення всій площині неможливо.
Зауваження. Проведення розрізу в площині дозволило отримати однозначні функції, з якими можна робити звичайні операції
Якщо в площині точка описує просту замкнену криву, обходячи початок координат, то в площині їй буде відповідати крива, яка здійснює двічі обхід навколо.
Крапка . при обході навколо якої по замкнутій кривій точка переходить з одного аркуша на інший, називається точкою розгалуження. Також точкою розгалуження є точка.
Аналогічно можна досліджувати n-листная функцію і зворотну до неї.
Число називається границею функції в точці. якщо для будь-якого числа знайдеться число таке, що для всіх чисел. задовольняють нерівності. виконується нерівність
Геометрично це означає, що для точок з проколеної # 948; -окрестності точки відповідні значення функції належать # 949; -окрестності точки.
Нагадаємо, що околиця точки на комплексній площині - це коло з центром в цій точці. Так, чи є коло радіуса з центром в точці. а проколота околиця точки або. або - коло радіуса з центром в точці за винятком точки.
Якщо записати числа в алгебраїчній формі, то неважко довести справедливість наступного твердження.
Утвержденіе.1 (необхідна і достатня умова існування границі функції комплексної змінної).
Для того щоб в точці існував межа функції. необхідно і достатньо, щоб в точці існували межі двох функцій дійсних змінних. де; при цьому має місце рівність
Зауваження: 1. З сформульованого критерію слід, що в комплексній області мають місце правила і властивості меж такі ж, як і в дійсній області (за винятком, зрозуміло, властивостей, пов'язаних зі знаками нерівностей).
Наприклад, (за умови, що існують межі в правій частині рівності).
2. Можна визначити поняття границі функції в точці, розглядаючи не всю околицю цієї точки, а тільки деякий чіткий безліч точок з цієї околиці - граничний перехід по безлічі:
Тут точки належать перетинанню безлічі і проколеної околиці точки. Зокрема, це має місце, якщо - безліч точок кривої, або - замкнутий безліч. Так, на рис. 3.7, а безліч - крива лінія. Функція визначена на і - дута. за винятком точки. На рис. 3.7, б безліч - безліч. функція визначена в області (або), - заштрихована частина області.