7.5. затухаючі коливання
У всякій реальної коливальної системі є сили опору, дія яких призводить до зменшення енергії системи. Якщо спад енергії не заповнюється за рахунок роботи зовнішніх сил, коливання будуть затухати. У найпростішому, і в той же час найбільш часто зустрічається, випадку сила опору пропорційна величині швидкості:
де r - постійна величина, яка називається коефіцієнтом опору. Знак мінус обумовлений тим, що сила і швидкість мають протилежні напрямки; отже, їх проекції на вісь X мають різні знаки. Рівняння другого закону Ньютона при наявності сил опору має вигляд:
Застосувавши позначення,, перепишемо рівняння руху в такий спосіб:
Це рівняння описує затухаючі коливання системи. Коефіцієнт називається коефіцієнтом загасання.
Експериментальний графік затухаючих коливань при малому коефіцієнті затухання представлений на рис. 7.6. З рис. 7.6 видно, що графік залежності виглядає як косинус, помножений на деяку функцію, яка убуває з часом. Ця функція представлена на малюнку штриховими лініями. Простий функцією, яка поводиться подібним чином, є експоненціальна функція. Тому рішення можна записати у вигляді:
де - частота затухаючих коливань.
Величина x періодично проходить через нуль і нескінченне число разів досягає максимуму і мінімуму. Проміжок часу між двома послідовними проходженнями через нуль дорівнює. Подвоєне його значення називається періодом коливань.
Множник, що стоїть перед періодичною функцією, називається амплітудою згасаючих коливань. Вона експоненціально убуває з часом. Швидкість загасання визначається величиною. Час, після закінчення якого амплітуда коливань зменшується в раз, називається часом загасання. За цей час система здійснює коливань. Загасання коливань прийнято характеризувати логарифмическим декрементом загасання. Логарифмическим декрементом загасання називається логарифм відношення амплітуд в моменти послідовних проходжень коливається величини через максимум або мінімум:
Він пов'язаний з числом коливань співвідношенням:
Величина називається добротністю коливальної системи. Добротність тим вище, чим більше число коливань встигає зробити система перш, ніж амплітуда зменшиться в разів.
Постійні величини і, як і в випадку гармонійних коливань, можна визначити з початкових умов.