Гауссова кривизни, повна кpівізнa, поверхні - твір головних кривизн регулярної поверхні в даній точці.
l = ds 2 = E du 2 + 2 F dudv + G dv 2
- перша квадратична форма поверхні і
II = L du 2 + 2 Mdudv + N dv 2
- друга квадратична форма поверхні, то Г. к. обчислюється за формулою
Г. к. Збігається з якобіаном сферичного відображення.
де Р0 - точка на поверхні, s - площа області U, що містить Р0. S - площа сферич. зображення U, d - діаметр області. Г. к. Позитивна в еліптичної точці, негативна в гіперболічної точці і дорівнює нулю в параболічної точці і в уплощенія точці. Г. к. Можна висловити тільки через коефіцієнти першої квадратичної форми і їх похідні (див. Гаусса теорема). Саме,
Так як Г. к. Залежить тільки від метрики, т. Е. Від коефіцієнтів першої квадратичної форми, то Г. к. - інваріант згинання. Г. к. Відіграє особливу роль в теорії поверхонь; існує багато формул для її обчислення (див. напр. [2]).
Г. к. Зв. гаусом кривизною по імені К. Гаусса, к-рий ввів це поняття (див. [1]).
Літ. [1] Гаусс К. Ф. Загальні дослідження про криві поверхні, пров. з лат. в зб. Про підстави геометрії, М. 1956; [2] Бляшке В. Введення в диференціальну геометрію, пров. З нього. 1957, с. 95.
- Математична Енциклопедія. Т. 1 (А - Г). Ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін.] - М. «Радянська Енциклопедія», 1977, 1 152 стб. з іл.