З теорії дійсних чисел відомо, що між точками числової осі і безліччю дійсних чисел x існує взаємно-однозначна відповідність: кожній точці числової осі відповідає єдине дійсне число x. і назад - кожному матеріальному числу x відповідає єдина точка числової осі.
Для опису положення довільної точки P площині x 0y необхідно задати два дійсних числа, наприклад, декартові координати (x. Y) точки. Кожну таку пару чисел можна розглядати як число нового типу, зване комплексним числом. сукупність яких утворює безліч комплексних чисел.
Комплексні числа записуються у вигляді
де x і y - дійсні числа; i називається уявною одиницею і визначається як число, квадрат якого дорівнює -1:
Таким чином, комплексне число являє собою впорядковану пару (x. Y) дійсних чисел, які можна розглядати як координати точки в площині x 0y. У такому контексті площину x 0y називають комплексної площиною. а числа x і y - відповідно дійсною частиною і уявної частиною комплексного числа z.
Безліч комплексних чисел включає в себе в якості підмножини сукупність дійсних чисел. Будь-яке дійсне число x можна інтерпретувати як комплексне число, уявна частина якого дорівнює нулю:
Числа виду z = iy. речові частини яких дорівнюють нулю, називаються чисто уявними.
Між безліччю комплексних чисел і множиною точок комплексної площині існує взаємно-однозначна відповідність, а саме: кожному комплексному числу відповідає єдина точка P площині x 0y і назад - кожній точці P (x, y) комплексної площини відповідає єдине комплексне число. Речовим числа відповідають точки осі 0x. тоді як чисто уявним числам відповідають точки на осі 0y. Тому вісь 0x називають речової віссю. тоді як вісь 0y - уявною віссю.
Мал. 2. Комплексна площину.
Для зображення комплексного числа z можна також використовувати вектор з початком у точці 0 і кінцем в точці z.
Мал. 3. Векторне подання комплексного числа z.
Абсолютна величина комплексного числа позначається символом | z | і визначається формулою
Інша назва абсолютної величини комплексного числа - модуль комплексного числа. З геометричної точки зору абсолютна величина | z | дорівнює відстані від точки z комплексної площині до нульової точки.
Число називається комплексно зв'язаних числа.
Мал. 4. Комплексно пов'язані числа z і.