Теоретична частина
Геометричний сенс другої похідної
Друга похідна характеризує вигин (bend) графіка функції y = f (x). Якщо на всьому відрізку [a, b] f '' (x) = 0. то графік функції y = f (x) має постійний нахил f '(x) = m і, отже, є відрізком прямої y = f (a) + m (x - a). Якщо f '' (x)> 0. то нахил графіка y = f (x) зростає, а дотичні прямі лежать нижче графіка функції. У цьому випадку говорять, що графік функції вигнутий вниз (concave up). Якщо ж f '' (x) <0. то наклон графика y = f (x ) убывает, а касательные прямые лежат выше графика функции. В этом случае говорят, что график функции выгнут вверх (concave down).
Напр. парабола y = ax 2 + bx + c опукла вниз при a> 0 вгору - при a <0 и является прямой при a = 0.
Якщо дотична, проведена в точці x = c. ділить графік на дві частини, одна з яких лежить під дотичній, а інша над, то цю точку називають точкою перегину. У точці перегину f '' (x) змінює знак. Напр. y = x 3 і y = sinx мають в нулі точку перегину.
Точка максима - це стаціонарна точка, в якій крива опукла вгору. Тому умови
є достатніми умовами максимуму.
Напр. парабола y = x 2 + bx + c опукла вниз і тому має мінімум, і не має точки максимуму.
квадратична апроксимація
Коли цікавлять значення функції y = f (x) поблизу точки x = a. але хочуть зберегти характер вигину її графіка, функцію наближено замінюють (апроксимують) на квадратичну
де вільний член b = f (a). а нахил m = f '(a). а. Іншими словами,
.
Для квадратичної функції ця формула є точною, для всіх інших - наближеною.
Напр. y = cosx поблизу нуля можна наблизити параболою.