Мета роботи. усвідомити сутність і засвоїти методи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь. Опанувати технологію рішення звичайного диференціального рівняння засобами MS Excel.
6.1.Сущность і методи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь
Диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує незалежні змінні (x1. X2. X3. ..., xm), їх функцію (y (x1. X2. X3. ..., xm)) і похідні (диференціали) цієї функції. Рівняння з однією незалежною змінною (x) називається звичайним. якщо ж незалежних змінних більше однієї, то рівняння називається диференціальним рівнянням в приватних похідних.
Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної, що входить в нього. Загальний вигляд звичайного диференціального рівняння n -го порядку:
де: x - незалежна змінна, y - невідома функція, y ¢. y ¢ ¢. .... y (n) - похідні цієї функції.
Рівняння n -го порядку, дозволене щодо старшої похідної, може бути записано у вигляді:
Спільним рішенням рівняння (6.2) називається така функція, що диференціюється y =? (X), яка при підстановці в рівняння звертає його в тотожність.
Чисельне рішення диференціального рівняння призів будуть числовий таблиці наближених значень yi шуканої функції y =? (X) для деяких значень аргументу xi # 206; [X0, b].
Чисельне рішення звичайних диференціальних рівнянь можливо такими методами, як метод Ейлера, модифікований метод Ейлера-Коші, які відносяться до сімейства методів Рунге-Кутта, власне методом Рунге-Кутта і іншими.
Метод Ейлера зважаючи на малу точності може бути використаний в основному для орієнтовних розрахунків, але ідеї, покладені в його основу, є вихідними для ряду інших більш точних методів. Цей метод можна вважати прикладом методів Рунге-Кутта першого порядку.
Модифікований метод Ейлера-Коші кілька підвищує точність рішення і його відносять до сімейства методів Рунге-Кутта другого порядку.
Забезпечує необхідну точність рішення і найбільш популярним з сімейства методів Рунге-Кутта є метод четвертого порядку. Для отримання таблиці наближених значень шуканої функції y =? (X) за цим методом застосовуються такі розрахункові формули:
Примітка. приклад оформлення робочого аркуша можна подивитися в додатку 5.
6.3.Варіанти завдання
Для всіх варіантів Xнач = 0 і Yнач = 0. Межі відрізка [a. b] рекомендується вибирати в межах від 0 до 0,5.