Ін'єкційних функції.
Серед функцій, що розглядаються в математиці, велику роль відіграють ін'єкційних функції.
ВИЗНАЧЕННЯ. Функція називається ін'єкційних, якщо для будь-яких х, у (з) з умови випливає, що
Іншими словами, функція ін'єкційних, якщо для будь-яких з того, що слід, що
В силу закону контрапозиции з визначення випливає, що функція ін'єкційних тоді і тільки тоді, коли для будь-яких, якщо, то, т. Е. Для різних аргументів функція приймає різні значення.
ВИЗНАЧЕННЯ. Ін'єкційних відображення непорожньої безлічі А на себе називається підстановкою безлічі А чи перетворенням безлічі А.
Зокрема, підстановкою є тотожне або одиничне відображення (а безлічі А на себе, т. Е. Таке відображення, що) для кожного з А.
ПРОПОЗИЦІЯ 3.8. Якщо - відображення з безлічі А в безліч В, то
ТЕОРЕМА 3.9. Композиція будь-яких двох ін'єкційних функцій є ін'єкційних функцією.
Доведення. Нехай - ін'єкційних функції. В силу ін'єкційних для будь-яких, якщо то Далі, в силу ін'єкційних g для будь-яких, якщо то Тому для будь-яких, якщо то Отже, для будь-яких, якщо то Таким чином, функція ін'єкційних.
СЛІДСТВО 3.10. Композиція будь-яких двох підстановок множини А є підстановка безлічі А.
Це наслідок безпосередньо випливає з теорем 3.4 і 3.9.
Нехай - функція. Інверсія функції може не бути функцією. Так, наприклад, якщо дана функція де Z - множина всіх цілих чисел, то ставлення не є функцією, тому що містить пари (1,1) і, Неоднаковими першими елементами і різними другими елементами.
Однак для функції де-безліч всіх цілих невід'ємних чисел, інверсія є функцією.
ПРОПОЗИЦІЯ 3.11. Якщо f і g - функції, то
Ця пропозиція безпосередньо випливає з пропозиції 2.1 і теореми 2.3.
СЛІДСТВО 3.12. Якщо f - відображення множини А на В і - функція, то є відображенням безлічі В на А.
ТЕОРЕМА 3.13. Інверсія функції f тоді і тільки тоді є функцією, коли функція f ін'єкційних.
Доведення. Ставлення є функцією тоді і тільки тоді, коли для будь-яких х, у, z, якщо то Це умова рівносильно умові ін'єкційних функції
для будь-яких, якщо, то Отже, ставлення є функцією тоді і тільки тоді, коли функція f ін'єкційних.
СЛІДСТВО 3.14. Якщо f - ін'єкційних функція, то - теж ін'єкційних функція. При цьому якщо ін'єкційних відображення А на В, тобто ін'єкційних відображення В на А.
ТЕОРЕМА 3.15. Нехай f, g, h - функції, що задовольняють умовам:
Тоді якщо функція f ін'єкційних, то
Доведення. Припустимо, що функція ін'єкційних. В силу умов (1) і (2)
В силу ін'єкційних f це означає, що для будь-якого з. Крім того, з огляду на Отже,