Графік функції помилок
В математиці функція помилок - це Неелементарні функція. що виникає в теорії ймовірностей. статистикою і теорії диференціальних рівнянь в приватних похідних. Вона визначається як
.
Додаткова функція помилок. позначається (іноді застосовується позначення, визначається через функцію помилок:
.
Комплексна функція помилок. позначається w (x). також визначається через функцію помилок:
.
- Функція помилок непарна:
- Для будь-якого комплексного x виконується
- Функція помилок не може бути представлена через елементарні функції. але, розкладаючи інтегрувальне вираз в ряд Тейлора і інтегруючи почленно, ми можемо отримати її подання до вигляді ряду:
Це рівність виконується (і ряд сходиться) як для будь-якого дійсного x. так і на всій комплексній площині. Послідовність знаменників утворює послідовність A007680 в OEIS.
- Для ітеративного обчислення елементів ряду корисно представити його в альтернативному виді:
оскільки - співмножник, що перетворює i -й член ряду в (i + 1) -й, вважаючи першим членом x.
- Функція помилок на нескінченності дорівнює одиниці; однак це справедливо тільки при наближенні до нескінченності по дійсній осі, так як:
- При розгляді функції помилок в комплексній площині точка буде для неї істотно особливою.
- Похідна функції помилок виводиться безпосередньо з визначення функції:
- Зворотна функція помилок є ряд
Тому ряд можна представити в наступному вигляді (зауважимо, що дроби скорочені):
[1]
Послідовності числителей і знаменників після скорочення - A092676 і A132467 в OEIS; послідовність числителей до скорочення - A002067 в OEIS.
Додаткова функція помилок
застосування
Якщо набір випадкових чисел підкоряється нормальному розподілу зі стандартним відхиленням σ. то ймовірність, що число відхилиться від середнього не більше ніж на a. дорівнює.
Функція помилок і додаткова функція помилок зустрічаються в рішенні деяких диференціальних рівнянь, наприклад, рівняння теплопровідності з граничними умовами описаними функцією Хевісайда ( «сходинкою»).
У системах цифрового оптичного комунікації, ймовірність помилки на біт також виражається формулою, що використовує функцію помилок.
асимптотичний розклад
При великих x корисно асимптотичний розклад для додаткової функції помилок:
Хоча для будь-якого кінцевого x цей ряд розходиться, на практиці перших декількох членів достатньо для обчислення з хорошою точністю, в той час як ряд Тейлора сходиться дуже повільно.
Інша наближення дається формулою
Споріднені функції
З точністю до масштабу і зсуву, функція помилок збігається з нормальним інтегральним розподілом. позначається Φ (x)
Зворотна функція до Φ. відома як нормальна квантільная функція, іноді позначається і виражається через нормальну функцію помилок як
Нормальне інтегральний розподіл частіше застосовується в теорії ймовірностей і математичній статистиці, в той час як функція помилок частіше застосовується в інших розділах математики.
Функція помилок є окремим випадком функції Миттаг-Леффлера. а також може бути представлена як вироджена гіпергеометрична функція (функція Куммера):
Функція помилок виражається також через інтеграл Френеля. У термінах регуляризоване неповної гамма-функції P і неповної гамма-функції,
Узагальнені функції помилок
Графік узагальнених функцій помилок En (x):
сіра лінія:
Червона лінія:
зелена лінія: E3 (x)
синя лінія: E4 (x)
жовта лінія: E5 (x).
Визначними окремими випадками є:
- E0 (x) - пряма лінія, що проходить через початок координат:
- E2 (x) - функція помилок.
Після поділу на n. все En з непарними n виглядають схоже (але не ідентично). Все En з парними n теж виглядають схоже, але не ідентично, після ділення на n. Все обощённие функції помилок з n> 0 виглядають схоже на напівосі x> 0.
На піввісь x> 0 всі узагальнені функції можуть бути виражені через гамма-функцію:
Отже, ми можемо висловити функцію помилок через гамма-функцію:
Ітерованих інтеграли додаткової функції помилок
Ітерованих інтеграли додаткової функції помилок визначаються як
Їх можна розкласти в ряд:
звідки йдуть властивості симетрії
Реалізація
У стандартах мов Сі і C ++ функція помилок і додаткова функція помилок відсутні в стандартній бібліотеці. Однак в GCC (GNU Compilier Collection) ці функції реалізовані як double erf (double x) і double erfc (double x). Функції знаходяться в заголовних файлах math.h або cmath. Там же є пари функцій erff (), erfcf () і erfl (), erfcl (). Перша пара отримує і повертає значення типу float. а друга - значення типу long double. Відповідні функції також містяться в бібліотеці Math проекту Boost.
У мові [2]. Клас Erf є в пакеті org.apache.commons.math.special від [3]. Однак ця бібліотека не є однією зі стандартних бібліотек Java 6.
література
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (Див. Частину 7)
зовнішні посилання
Дивитися що таке "Інтеграл ймовірності" в інших словниках:
ІНТЕГРАЛ ІМОВІРНОСТІ - інтеграл помилок, функція В теорії ймовірностей використовується не І. в. а функція нормального розподілу: так зв. інтеграл ймовірності Гаусса. Для випадкової величини X, що має нормальний розподіл з математичного. очікуванням 0 і дисперсією s2, ... ... Математична енциклопедія
Інтеграл ймовірності - назва кількох пов'язаних між собою спеціальних функцій. Інтеграл називають інтегралом ймовірності Гаусса. Для випадкової величини X, що має нормальний розподіл з математичним очікуванням 0 і дисперсією σ2, ... ... Велика радянська енциклопедія
ІНТЕГРАЛ ІМОВІРНОСТІ - назв. дек. пов'язаних один з одним спец. ф ций. Напр. І. в. Гаусса ... Великий енциклопедичний політехнічний словник
Інтеграл зіткнень - Інтеграл зіткнень вираз, що становить праву частину кінетичного рівняння Больцмана, яке визначає швидкість зміни функції щільності розподілу часток внаслідок зіткнень між ними: Іноді інтеграл зіткнень ... ... Вікіпедія
ІНТЕГРАЛ СУТИЧОК - член в кінетичному рівнянні Бол'цмана, рівний зміни ф ції розподілу часток (або квазічастинок) за одиницю часу в елементі фазового об'єму внаслідок зіткнень між ними; його зв. також оператором зіткнень. І. с. дорівнює (з ... ... Фізична енциклопедія
Формулювання через інтеграл по траєкторіям - формулювання через інтеграл по траеторіям квантової механіки це опис квантової теорії, яке узагальнює принцип дії класичної механіки. Воно заміщає класичне позначення одиночній, унікальною траєкторії для системи сумою, або ... ... Вікіпедія
Функціональний інтеграл - (континуальний інтеграл, інтеграл по траєкторіям, Фейнмановские інтеграл по траєкторіям) запис або результат функціонального інтегрування (інтегрування по траєкторіях). Знаходить найбільше застосування в квантовій фізиці (квантової теорії ... Вікіпедія
- Спеціальні функції та їх застосування. Н. Н. Лебедєв. Книга містить систематичний виклад основ теорії найважливіших спеціальних функцій і додатки до цієї теорії до завдань математичної фізики і техніки. Розглянуто: гамма-функція, інтеграл ... Детальніше Купити за 664 грн (тільки Україна)
- Спеціальні функції та їх застосування. Навчальний посібник. 3-е изд. Книга містить систематичний виклад основ теорії найважливіших спеціальних функцій і додатки до цієї теорії до завдань математичної фізики і техніки. Розглянуто: гамма-функція, інтеграл ... Детальніше Купити за 523 руб
- Спеціальні функції та їх застосування. Н. Н. Лебедєв. Книга містить систематичний виклад основ теорії найважливіших спеціальних функцій і додатки до цієї теорії до завдань математичної фізики і техніки. Розглянуто: гамма-функція, інтеграл ... Детальніше Купити за 469 руб