Уповільнення атомів з використанням охолоджувальної апаратури дозволяє отримати сингулярне квантовий стан, відоме як конденсат Бозе, або Бозе - Ейнштейна. Результатом зусиль Бозе і Ейнштейна стала концепція Бозе газу, що підкоряється статистиці Бозе - Ейнштейна. яка описує статистичний розподіл тотожних часток з цілим спіном, званих бозонами. Бозони, якими є, наприклад, і окремі елементарні частинки - фотони, і цілі атоми, можуть перебувати один з одним в однакових квантових станах. Ейнштейн припустив, що охолодження атомів - бозонів до дуже низьких температур змусить їх перейти (або, по-іншому, сконденсуватися) в найнижча можливе квантовий стан. Результатом такої конденсації стане виникнення нової форми речовини.
Цей перехід виникає нижче критичної температури, яка для однорідного тривимірного газу, що складається з невзаимодействующих частинок без будь-яких внутрішніх ступенів свободи, визначається формулою
Цю формулу можна отримати з таких міркувань.
Згідно зі статистикою Бозе - Ейнштейна, кількість частинок в заданому стані i дорівнює
Знайдемо температуру, при якій хімічний потенціал дорівнюватиме нулю. Розглянемо випадок вільних частинок - ε i = p 2 + 2 m = >>>Звідки вже неважко отримати шукане
Розглянемо набір з N невзаимодействующих частинок, кожна з яких може перебувати в двох станах, | 0⟩ і | 1⟩. Якщо енергії обох станів однакові, то всі можливі конфігурації різновірогідні.
Якщо ми можемо розрізняти частки, то є 2 N> різних конфігурацій, оскільки кожна частка незалежно і з однаковою ймовірністю потрапляє в стану | 0⟩ і | 1⟩. При цьому практично у всіх станах кількість частинок в стані | 0⟩ і в стані | 1⟩ майже дорівнює. Ця рівновага є статистичним ефектом: чим менше різниця між кількостями частинок в обох станах, тим більшою кількістю конфігурацій (микросостояний) системи вона реалізується.
Однак якщо ми вважаємо частки невиразними, то система має всього лише N +1 різних конфігурацій. Кожній конфігурації можна зіставити число K частинок, що знаходяться в стані | 1⟩ (і N - K частинок, що знаходяться в стані | 0⟩); при цьому K може змінюватися від 0 до N. Оскільки всі ці зміни різновірогідні, то статистично ніякої концентрації не відбувається - частка частинок, що знаходяться в стані | 1⟩. розподілена рівномірно по відрізку [0, 1]. Конфігурація, коли всі частинки знаходяться в стані | 0⟩. реалізується з тією ж імовірністю, що і конфігурація з половиною часток в стані | 0⟩ і половиною - в стані | 1⟩. або конфігурація з усіма частинками в стані | 1⟩.
Якщо тепер припустити, що енергії двох станів різні (для визначеності, нехай енергія частинки в стані | 1⟩ вище, ніж в стані | 0⟩. На величину E), то при температурі T частка буде з більшою ймовірністю перебувати в стані | 0⟩. Ставлення ймовірностей одно exp (-E / kB T).
У разі помітних частинок їх кількість в першому і другому станах не буде рівних, але ставлення населенностей буде все ж близько до одиниці внаслідок вищевказаного статистичного прагнення системи до конфігурацій, де різниця населенностей невелика (ці макросостоянія забезпечуються найбільшим числом конфігурацій).
Навпаки, коли частинки невиразні, розподіл населенностей істотно зсувається на користь стану | 0⟩. і зі збільшенням числа частинок цей зсув буде збільшуватися, оскільки немає ніякого статистичного тиску в бік малої різниці населенностей, і поведінка системи визначається лише більшою ймовірністю для частки (при будь-якій кінцевій температурі) зайняти більш низькоенергетичний рівень.
Кожне значення K задає для нерозпізнаних частинок певний стан системи, ймовірність якого описується больцманівського розподілом з урахуванням того, що енергія системи в стані K дорівнює KE (оскільки рівно K частинок займають рівень з енергією E). Імовірність знаходження системи в цьому стані:
Для досить великих N нормувальна константа C дорівнює (1 - p). Очікуване число часток в стані | 1⟩ в межі N → ∞ одно Σ n> 0 C n p n = p / (1 - p) Cnp ^ = p / (1-p)>. При великих N ця величина практично перестає рости і прагне до константі, тобто при великому числі часток відносна населеність верхнього рівня нехтує мала. Таким чином, в термодинамічній рівновазі більшість бозонів будуть перебувати в стані з найменшою енергією, і лише мала частка частинок буде в іншому стані, незалежно від того, наскільки мала різниця рівнів енергії.
Розглянемо тепер газ з частинок, кожна з яких може перебувати в одному з імпульсних станів, які пронумеровані і позначені як | k⟩. Якщо число часток набагато менше, ніж число доступних при даній температурі станів, всі частинки будуть перебувати на різних рівнях, тобто газ в цій межі поводиться як класичний. При збільшенні щільності або зменшенні температури число частинок на один доступний рівень енергії збільшується, і в якийсь момент число частинок в кожному стані дійде до максимально можливого числа частинок в даному стані. Починаючи з цього моменту, всі нові частинки будуть змушені переходити в стан з найменшою енергією.
Щоб розрахувати температуру фазового переходу при даній щільності, необхідно проінтегрувати по всіх можливих імпульсам вираз для максимального числа частинок в збудженому стані, p / (1 - p):
При обчисленні цього інтеграла і підстановці множника ħ для забезпечення необхідних розмірностей виходить формула для критичної температури з попереднього розділу. Таким чином, цей інтеграл визначає критичну температуру і концентрацію частинок, що відповідають умовам нехтує малого хімічного потенціалу. Згідно зі статистикою Бозе - Ейнштейна, μ не повинно строго дорівнювати нулю для виникнення бозе-конденсату; проте μ менше енергії основного стану системи. Зважаючи на це, при розгляді більшості рівнів хімічний потенціал може вважатися приблизно нульовим, за винятком випадків, коли досліджується основний стан.