Конформні відображення (кон-форм-ве пре-про-ра-зо-ва-ня), ото-бра-же-ня од-ної про-лас-ти (в пло-ко-сти або в про-країн-ст -ве) на дру-гую об-ласть, со-збе-няю-ний уг-ли ме-ж-ду кри-ви-ми. Про-стей-ши-ми при-ме-ра-ми К. о. яв-ля-ють-ся пре-про-ра-зо-ва-ня по-до-бія і по-по-ро-ти (ор-то-го-наль-ні пре-про-ра-зо-ва -ня).
К. о. при-ме-ня-ет-ся в кар-то-гра-фії. ко-ли тре-бу-ет-ся частина по-верх-но-сті зем-но-го ша-ра з-бра-зить на пло-ко-сти (кар-ті) з со-збе-ні-ні -ємо ве-ли-чин всіх уг-лов; при-ме-ри та-ких К. о. - сте-рео-гра-фі-че-ська про-ек-ція і про-ек-ція Мер-ка-то-ра (див. Кар-то-гра-фі-че-ські про-ек-ції) . Осо-бою ме-сто за-ні-ма-ють К. о. од-них про-лас-тей пло-ко-сти на дру-Гії; їх тео-рія име-ет су ще ст вен ні при-ло-же-ня в ае-ро- і гід-ро-ме-ха-ні-ке, електро-тро-ста-ти-ці і тео-рії уп-ру-го-сті. Ре-ху мн. важ-них за-дач ліг-ко по-лу-ча ет ся, ко-ли об-ласть, для ко-то-рій ста-вит-ся за-да-ча, име-ет дос-та- точ-но про-стій вид (напр. коло або по-лу-пло-кістка). Ес-ли за-да-ча ста-вит-ся для бо-леї складність ної про-лас-ти, то ока-зи-ва-ет-ся дос-та-точ-ним кон-форм-но ото бра-зить про-стей-шую об-ласть на дан-ву, що-б по-лу-чить ре-ху но-вої за-да-чи з з-вест-но-го ре-ше-ня . Імен-но та-ким пу-тём йшов Н. Е. Жу-ков-ський. ство-да-вая тео-рію даху-ла са-мо-ле-ту.
Не вся-кі об-лас-ти пло-ко-сти до-пус-ка-ють К. о. один на одного. Так, напр. кру-го-ше коли-цо, ог-ра-ні-чен-ве кон-цен-Тріч. ок-руж-но-стя-ми, нель-зя кон-форм-но ото-бра-зить на коль-цо з дру-гим від-но-ше-ні-ням-Діу-сов. Од-на-ко лю-бие дві об-лас-ти, ка-ж-дая з ко-то-яких ог-ра-ні-чо-на лише од-ної кри-вої (од-но-зв-ні об-лас-ти), мо-гут бути кон-форм-но ото-бра-же-ни один на дру-га (тео-ре-ма Рі-ма-на). Що ка-са-ет-ся об-лас-тей, ог-ра-ні-чен-них НЕ-скільки-ки-ми кри-ви-ми, то та-кую об-ласть все-гда мож-но кон -форми-но ото-бра-зить на про-ласть, ог-ра-ні-чен-ву та-ким же чис-лом па-ра-лель-них ме-ж-ду со-бій пря-мо-ли -ней-них від-рез-ков (тео-ре-ма Гіль-бер-та) або ок-ружной-стей (тео-ре-ма Ке-бе), але раз-ме-ри і вза-ім-ве рас-по-ло-же-ня цих від-рез-ков або ок-руж-но-стей нель-зя за-дати про-з-воль-но.
Ес-ли вве-сти кому-плекс-ні пе-ре-мен-ні $ z $ і $ w $ в пло-ко-стях кричи-ги-на-ла і про-рази, то пе-ре-мен- ная $ w $. рас-гля-ри-ває-травня при К. о. як функ-ція від $ z $. яв-ля-ет-ся або ана-лі-ти-че-ської функ-ци-їй. або функ-ци-їй, кому-плекс-но со-пря-дружин-ної з ана-лі-ти-че-ської. Об-рат-но, лю-бая функ-ція, ана-лі-ти-че-ська в дан-ної про-лас-ти і при-ні-травня-щая в раз-них точ-ках об-Лас ти раз-ні зна-че-ня (та-кая функ-ція на-зи-ва-ет-ся од-но-ли-ст-ної), кон-форм-но ото-бра-жа-ет дан ву про-ласть на НЕ-ко-то-рую дру-гую об-ласть. Як і це-му изу-че-ня К. о. об-лас-тей пло-ко-сти сво-дит-ся до изу-че-ня од-но-ли-ст-них ана-лі-тич. функ-цій.
Вся-кое К. о. трьох-мер-них про-лас-тей пе-ре-во-дит сфе-ри і пло-ко-сти в сфе-ри і пло-ко-сти і сво-дит-ся або до пре-про-ра- зо-ва-ню по-до-бія, або до по-сле-до-ва-тель-но ви-пол-нен-ним од-но-му пре-про-ра-зо-ва-ню ін-вір -сіі і од-но-му пре-про-ра-зо-ва-ню по-до-бія (тео-ре-ма Ліу-вил-ля). Як і це-му К. о. трьох-мер-них (і по-про-ще мно-го-мер-них) про-лас-тей не ма-ють настільки біль-шо-го зна-че-ня і та-ких раз-но-про- раз-них при-ло-же-ний, як К. о. дво-мер-них про-лас-тей.
На-ча-ло тео-рії К. о. за-ло-же-но Л. Гей-ле-ром (1777), про-на-ру-живий-шим зв'язок функ-цій кому-плекс-но-го пе-ре-мен-но-го з за- да-чий про К. о. годину-тей сфе-ри на пло-кістка (для по-ладі-ня гео-гра-фіч. карт). Ізу-че-ня про-щей за-да-чи К. о. од-ної по-верх-но-сті на дру-гую при-ве-ло К. Га-ус-са (1822) до раз-ві-тію про-щей тео-рії по-верх-но-стей. Б. Рі-ман (1851) сфор-му-ли-ро-вал ус-ло-вия, при ко-то-яких віз-мож-но К. о. од-ної про-лас-ти пло-ко-сти на дру-гую, од-на-ко на-ме-чен-ний їм під-хід уда-лось обос-но-вать лише на поч. 20 в. (А. Пу-ан-ка-рі і К. Ка-ра-ті-о-до-ри). Іс-сле-до-ва-ня Н. Е. Жу-ков-ско-го і С. А. Ча-п-ли-ги-на. від-відчинивши-ших ши-ро-кое по-ле при-ло-же-ний К. о. в ае-ро- і гід-ро-ме-ха-ні-ке, по-слу-жи-ли мощ-ним сти-му-лом для раз-ві-ку тео-рії К. о. як біль-шо-го раз-де-ла тео-рії ана-лі-тич. функ-цій.