Нехай дано площині α1 і α2 своїми загальними рівняннями. Тоді під кутом φ між площинами α1 і α2 розуміють найменший кут, на який треба повернути одну з площин до її збігу з іншого площиною. Тому
![Кут між двома площинами (канонічне рівняння прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-be12bb67.png)
![Кут між двома площинами (площинами) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-7211c714.png)
![Кут між двома площинами (кут) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-429c2ab1.png)
![Кут між двома площинами (канонічне рівняння прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-d8619227.png)
![Кут між двома площинами (площинами) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-4e23e93f.png)
![Кут між двома площинами (Взаємне розташування прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-6b06755a.png)
![Кут між двома площинами (площинами) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-9a961c0f.png)
Зокрема, якщо φ = π / 2, то
- умова перпендикулярності двох площин.
Пряма в просторі. Взаємне розміщення прямої і площини в просторі Рівняння прямої в просторі
Очевидно, що пряму в просторі можна задати як лінію перетину двох площин α1 і α2. Тоді в довільній афинной системі координат пряма задається системою двох лінійних рівнянь
- загальне рівняння прямої або рівняння прямої в загальному вигляді.
Нехай l - пряма. Тоді її положення в просторі однозначно визначається завданням її направляючого вектора
![Кут між двома площинами (канонічне рівняння прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-e09bba01.png)
![Кут між двома площинами (необхідне достатня умова) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-0754d9dd.png)
![Кут між двома площинами (Взаємне розташування прямої площині) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-55db94b6.png)
![Кут між двома площинами (канонічне рівняння прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-470d061f.png)
Переходячи до координат, отримаємо
X - x0 = tm, y - y0 = tn, z - z0 = tp
-параметричні рівняння прямої.
Висловлюючи параметр t. отримаємо
![Кут між двома площинами (Взаємне розташування прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-86920084.png)
- канонічне рівняння прямої, що проходить через точку
М0 (х0y0, z0) паралельно вектору
![Кут між двома площинами (необхідне достатня умова) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-ebf3c5e2.png)
Останнє рівняння рівносильне
![Кут між двома площинами (кут) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-c87d479c.png)
![Кут між двома площинами (кут) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-a7f5cd01.png)
- рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
Навпаки, нехай задано загальне рівняння прямої.
Взявши довільну точку М0 (х0, у0, z0) прямий отримуємо
![Кут між двома площинами (необхідне достатня умова) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-7c49e9a1.png)
- канонічне рівняння прямої.
Взаємне розташування двох прямих у просторі
Нехай прямі l1 і l2 задані канонічними рівняннями
![Кут між двома площинами (кут) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-e1b0709a.png)
![Кут між двома площинами (кут) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-e530d0a2.png)
позначимо
![Кут між двома площинами (Взаємне розташування прямої площині) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-6cbac7ad.png)
![Кут між двома площинами (канонічне рівняння прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-803d3cfd.png)
![Кут між двома площинами (Взаємне розташування прямої площині) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-2b200138.png)
1) якщо прямі збігаються, то всі три вектора
![Кут між двома площинами (Взаємне розташування прямої площині) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-38e6552a.png)
![Кут між двома площинами (канонічне рівняння прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-af355df1.png)
![Кут між двома площинами (канонічне рівняння прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-990c1039.png)
2) якщо прямі паралельні і не збігаються, то вектора
![Кут між двома площинами (площинами) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-1d7e3411.png)
![Кут між двома площинами (площинами) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-ae3f7268.png)
![Кут між двома площинами (Взаємне розташування прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-4785deb6.png)
3) якщо пряжі перетинаються, то ніякі два з векторів
![Кут між двома площинами (необхідне достатня умова) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-a5797aac.png)
![Кут між двома площинами (площинами) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-7e771eee.png)
![Кут між двома площинами (Взаємне розташування прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-ed305a4f.png)
4) ecли прямі схрещуються, то вектори
![Кут між двома площинами (площинами) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-c1071d5f.png)
![Кут між двома площинами (площинами) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-682ec5e2.png)
![Кут між двома площинами (Взаємне розташування прямої площині) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-ed7ff0f0.png)
Відзначимо, що умови паралельності і перпендикулярності, прямих l1 і l2 рівносильні умовам коллинеарности і ортогональности їх направляють векторів
![Кут між двома площинами (кут) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-f6227f48.png)
![Кут між двома площинами (площинами) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-0250ab62.png)
![Кут між двома площинами (Взаємне розташування прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-68fa5fae.png)
- необхідна і достатня умова паралельності двох прямих.
- необхідна і достатня умова перпендикулярності двох прямих.
Якщо прямі l1 і l2 перетинаються, то величина кута φ між ними одно або (
![Кут між двома площинами (площинами) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-0e659d28.png)
![Кут між двома площинами (Взаємне розташування прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-f5af8226.png)
![Кут між двома площинами (площинами) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-4a703b26.png)
![Кут між двома площинами (канонічне рівняння прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-2f1fe611.png)
Відстань від точки до прямої в просторі
Расстояніеd від точки M1 (x1, у1, z1) до даної прямої
![Кут між двома площинами (Взаємне розташування прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-0d2708fc.png)
![Кут між двома площинами (кут) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-07bbfcae.png)
![Кут між двома площинами (Взаємне розташування прямої площині) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-1e7d8772.png)
Рівняння площини, що проходить через дві задані прямі
Нехай площину α проходять через прямі l1 і l2. задані відповідно рівняннями:
Позначимо М2 (x2, y2, z2),
![Кут між двома площинами (площинами) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-6f646d13.png)
![Кут між двома площинами (необхідне достатня умова) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-76b6eab7.png)
![Кут між двома площинами (площинами) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-ff827e5d.png)
-рівняння площини, що проходить через дві прямі.
Відстань між перехресними прямими
Нехай прямі l1 і l2. задані рівняннями виду (2), є перехресними. Тоді відстанню d між ними називається довжина перпендикуляра, проведеного з одне прямої на іншу. Зауважимо, що шукане відстань дорівнює відрізку перпендикуляра, закачаного між площинами α1 і α2. де площині α1 і α2 одночасно паралельні векторам
![Кут між двома площинами (необхідне достатня умова) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-5c474271.png)
![Кут між двома площинами (площинами) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-8c26e3d4.png)
![Кут між двома площинами (необхідне достатня умова) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-dab57a78.png)
Взаємне розміщення прямої і площини
Нехай пряма l і площина α задані відповідно рівняннями
![Кут між двома площинами (канонічне рівняння прямої) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-ba9bcdb8.png)
1) прямаяl лежить в площині α, якщо
![Кут між двома площинами (необхідне достатня умова) Кут між двома площинами](https://images-on-off.com/images/147/ugolmezhdudvumyaploskostyami-6934f11b.png)
2) пряма l паралельна площині α, якщо