Квадратне рівняння

геометричний сенс

Графіком квадратичної функції є парабола. Рішеннями (корінням) квадратного рівняння називають точки перетину параболи з віссю абсцис. Якщо парабола, описувана квадратичною функцією, не перетинається з віссю абсцис, рівняння не має дійсних коренів. Якщо парабола перетинається з віссю абсцис в одній точці (вершині параболи), рівняння має один дійсний корінь (також кажуть, що рівняння має два співпадаючих кореня). Якщо парабола перетинає вісь абсцис в двох точках, рівняння має два дійсних кореня.

Якщо коефіцієнт a позитивний, гілки параболи спрямовані вгору, якщо негативний - гілки параболи спрямовані вниз. Якщо коефіцієнт b позитивний, то вершина параболи лежить в лівій півплощині, якщо негативний - в правій півплощині.

Висновок формули для вирішення квадратного рівняння

Формулу для вирішення квадратного рівняння a x 2 + b x + c = 0 можна отримати так:

перенесемо c в праву частину a x 2 + b x = - c
помножимо рівняння на 4 a (2 a x) 2 + 4 a b x = - 4 a c
додамо b 2 до обох частин (2 a x) 2 + 4 a b x + b 2 = b 2 - 4 a c
в лівій частині виділимо повний квадрат (2 a x + b) 2 = b 2 - 4 a c
винесемо квадратний корінь 2 a x + b = ± √ b 2 - 4 a c
перенесемо b в праву частину 2 a x = - b ± √ b 2 - 4 a c
розділимо рівняння на 2 a

Дискримінант квадратного рівняння

квадратного рівняння називають число, що дорівнює D = b 2 - 4 ac

Квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами може мати від 0 до 2 речових коренів в залежності від значення дискриминанта:

при D> 0 коренів два, і вони обчислюються за формулою

при D = 0 корінь один (два рівних або співпадаючих кореня), кратності 2:

при D 2 дорівнює одиниці. Таке рівняння може бути отримано діленням всього висловлювання на коефіцієнт a. x 2 + px + q = 0, де p = b a. q = c a

Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 + px + q = 0 дорівнює коефіцієнту p. взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену q:
x 1 + x 2 = - p. x 1 x 2 = q.

Розкладання квадратного рівняння на множники

Якщо відомі обидва кореня квадратного рівняння, його можна розкласти по формулі
ax 2 + bx + c = a (x - x 1) (x - x 2)

Приклади розв'язання квадратних рівнянь