Необхідність вирішувати рівняння не тільки першої, але і другого ступеня ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок і з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики.
Рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де a. b. c - дійсні числа, причому a ≠ 0, називають квадратним рівнянням.
Якщо a = 1. то квадратне рівняння називають наведеним; якщо a ≠ 1, то неприведення.
Числа a. b. c носять такі назви: a - перший коефіцієнт, b - другий коефіцієнт, c - вільний член.
Коріння рівняння ax 2 + bx + c = 0 знаходять за формулою
Вираз D = b 2 - 4ac називають дискримінантом квадратного рівняння.
- якщо D <0, то уравнение не имеет действительных корней;
- якщо D = 0, то рівняння має один дійсний корінь;
- якщо D> 0, то рівняння має два дійсних кореня.
У разі, коли D = 0, іноді кажуть, що квадратне рівняння має два однакових кореня.
Повний квадратне рівняння
Неповні квадратні рівняння
Якщо в квадратному рівнянні ax 2 + bx + c = 0 другої коефіцієнт b або вільний член c дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається неповним.
Неповні рівняння виділяють тому, що для відшукання їх коренів можна не користуватися формулою коренів квадратного рівняння - простіше вирішити рівняння методом розкладання його лівій частині на множники.
Способи вирішення неповних квадратних рівнянь:
Рішення неповного квадратного рівняння
Квадратні рівняння з комплексними змінними
Спочатку розглянемо найпростіше квадратне рівняння z 2 = a. де a-заданий число, а z-невідоме. На множині дійсних чисел це рівняння:
- має один корінь z = 0, якщо а = 0;
- має два дійсних кореня z1, 2 = ± √a
- Не має дійсних коренів, якщо a <0
Рішення квадратних рівнянь за допомогою графіків
Чи не використовуючи формул квадратне рівняння можна вирішити графічним способом. Наприклад x 2 + x + 1 = 0.
Вирішимо рівняння. Для цього побудуємо два графіки y = x 2; y = x + 1.
y = x 2. квадратична функція, графік парабола.
y = x + 1, лінійна функція, графік пряма.
Графіки перетинаються в двох точках, рівняння має два кореня.
Відповідь: x ≈ -0,6; x ≈ 2,6.
Рішення задач за допомогою квадратних рівнянь