Плоска фігура Q називається квадрованою. якщо верхня площа цієї фігури збігається з її нижньої площею. При цьому число називається площею фігури Q.
Справедлива наступна теорема.
Теорема 1. Для того щоб плоска фігура Q була квадрованою, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого позитивного числа # 949; можна було вказати такий описаний навколо фігури Q багатокутник і такий вписаний в фігуру Q багатокутник, різниця Sd - Si площ яких була б менше # 949 ;. Sd - Si 0 можна вказати такий вписаний в фігуру Q багатокутник, площа Si якого відрізняється від менше ніж на # 949; / 2, т. Е. P - Si 0 можна вказати такий описаний багатокутник, площа Sd якого відрізняється від менше ніж на # 949; / 2, т. Е. Sd - P 0 можна вказати такий описаний навколо фігури Q багатокутник і такий вписаний в фігуру Q багатокутник, різниця Sd - Si площ яких менше # 949 ;. Очевидно, теорему 1 можна також сформулювати наступним чином.
для того щоб плоска фігура Q була квадрованою, необхідно і достатньо, щоб її кордон мав площу, рівну нулю.
Зауваження. У всіх наведених нами міркуваннях замість плоскої фігури можна розглядати довільне безліч точок площині.
Квадрованою плоска фігура, теорема. Кордон плоскої фігури має площу, рівну нулю, якщо.