Точка, що належить поверхні
Точка належить поверхні, якщо вона належить лініям, що становить каркас поверхні, а також будь-яким лініях належить поверхні.
Розглянемо побудову проекцій точок, що належать поверхні конуса (рис.2), коли одна проекція точки задана. Проекція А2 належить нарисової утворює, отже проекція А1 будується перенесенням по лінії зв'язку. На фронтальній проекції підстави конуса розташована проекція точки В2, горизонтальних проекцій можна побудувати дві, на передній і задній стороні конуса, тому розглядаємо конкуруючі точки В і В '. На фронтальній проекції конуса задамо проекцію точкіD2 іD2`. Для того щоб побудувати другі горизонтальні проекції точок необхідно використовувати допоміжні лінії: паралель або утворюють. Скористаємося паралеллю, для побудови горизонтальної проекції паралелі, радіусотмеряется завжди від осі обертання до нарисової утворює. Для побудови фронтальної проекції точки С використана утворює, яку провели через задану проекцію. Положення утворює на підставі відзначено хрестиком.
Малюнок 2. Побудова точок, що належать поверхні конуса.
Перетин поверхні площиною.
Залежно від положення площини по відношенню до площин проекцій, складність вирішення завдання, за визначенням лінії перетину її з поверхнею істотно змінюється. Найбільш простим є випадок, коли площина проектує. Розглянемо рішення задачі по визначенню лінії перетину конуса фронтально - проецирующей площиною (рис.3). На фронтальній площині проекцій лінія перетину визначена, потрібно побудувати її другу горизонтальну проекцію.
Лінія перетину площини з поверхнею має форму кривої, для її побудови визначимо основні і допоміжні точки. Основні точки:
- верх і низ кривої;
- належать нарисові утворюючим;
- належать основи, екватору.
Допоміжні точки служать для уточнення форми кривої, їх слід розташовувати приблизно на рівній відстані між основними.
Малюнок 3.Построеніе лінії перетину конуса
з фронтально-проектує площиною.
Точки 1 і 4 є основними точками, їх горизонтальні проекції будуються без допоміжних побудов за принципом приналежності. Точки 2 і 3 - допоміжні, для їх побудови використані паралелі. Після того як будуть побудовані горизонтальні проекції точок з'єднаємо їх плавною симетричною відносно горизонтальної осі конуса лінією, яка за формою є параболою.
Розглянемо перетин конуса горизонтально-проецирующей площиною (рис.4). На горизонтальній площині проекцій лінія перетину визначена, щоб побудувати другу проекцію цієї лінії перетину, позначимо основні (1, 4 і 6) і допоміжні точки (3, 2). Точки 6 і 1 належать основи конуса їх другі проекції побудувати легко. Точка 5 належить нарисової утворює і є кордоном видимості кривої на фронтальній проекції, її побудова не представляє труднощі. Вершина кривої це точка (4), яка знаходиться найближче до вершини конуса (в попередній задачі вона визначалася на фронтальній проекції), тобто на перпендикуляре, опущеному з вершини конуса. Точки 3 і 2 є допоміжними. Для побудови точок 4, 3 і 2 скористаємося паралелями. Щоб побудувати фронтальні проекції паралелей позначимо їх перетин з нарисної утворює хрестиками і перенесемо їх на фронтальну проекцію твірної. Після того як будуть побудовані всі проекції точок, з'єднаємо їх плавною лінією, при цьому ділянка 6-5 буде невидимим, тому його слід провести пунктирною лінією. Отримана крива має форму гіперболи.
Малюнок 4. Побудова лінії перетину конуса
з горизонтально-проецирующей площиною
Залежно від положення січної площини лініями перетину конічної поверхні можуть бути (рис.5): еліпс, парабола, гіпербола, окружність і трикутник.
Якщо плоскостьФ перетинає всі утворюють поверхні конуса обертання, тобто есліφ> α. то лінією перетину являетсяелліпс (рис.5). У цьому випадку січна площина не паралельна жодної з утворюють поверхні конуса.
У разі, коли площина перпендикулярна осі обертання конуса, в перерізі виходить коло.
Якщо площину Ф паралельна однієї твірної поверхні конуса, т.е.φ = α. то лінією перетину являетсяпарабола (рис.5). У разі, коли площина проходить через вершину конуса, лінія перетину збігається з утворюють. У перетині получаетсятреугольнік.
Якщо січна площина паралельна осі обертання, в перерізі - гіпербола.
Малюнок 5. Конічні перетини.
Якщо задана поверхня прямого конуса, то розгортка його бічній поверхні являє кругової сектор, радіус якого дорівнює довжині утворює конічної поверхні l. а центральний уголφ = 360оr / l. гдеr - радіус кола підстави конуса. Для простоти побудови використовується апроксимація довжини окружності підстави конуса, для чого конус вписується в 12-вугільну піраміду (рис.6).
Малюнок 5. Побудова розгортки конуса.
Побудова розгортки конуса починаємо з розподілу підстави на 12 частин радіусом. Точки ділення позначаємо римськими цифрами. Радіусом, що дорівнює нарисової утворює, будуємо сектор кола. Довжина дуги визначається, послідовно відкладаючи на ній отримані при розподілі відрізки. Для побудова точки С, що належить поверхні конуса, будуємо на розгортці утворить, на якій розташовується точка. Щоб визначити натуральну величину відстані від точки С до вершини конуса, переносимо її на очерковую утворить (метод обертання розбирали при побудові розгортки піраміди).
Побудова лінії взаємного пересеченіякрівих поверхонь
Лінією взаємного перетину кривих поверхонь є безліч точок, спільних для даних поверхонь. На цьому безлічі виділяють характерні (опорні, або головні) точки, з яких слід починати побудову цієї лінії. До таких точок відносяться:
екстремальні точки - верхня і нижня точки лінії перетину щодо тієї чи іншої площини проекцій;
точки, розташовані на нарисових утворюють поверхонь, які визначають межі видимості, точки перетину підстав, і т.д.
Для уточнення форми лінії перетину використовуються допоміжні точки.
Для визначення точок часто користуються допоміжними січними поверхнями. Поверхні-посередники перетинають дані поверхні по лініях, які, в свою чергу, перетинаються в точках лінії перетину даних поверхонь.
Січні поверхні-посередники вибираються так, щоб вони, перетинаючись з даними поверхнями, давали прості для побудови лінії, наприклад прямі і окружності.
Із загальної схеми побудови лінії перетину поверхонь виділяють два основні методи - метод січних площин і методсекущіх сфер.
Слід має на увазі, що лінія перетину двох поверхонь в проекціях завжди розташовується в зоні загальною для цих пересічних поверхонь
Характер лінії перетину кривих поверхонь залежить від форми поверхонь і від взаємного положення. Лінія перетину має форму замкнутої або незамкненою кривої, за винятком випадків, коли перетинаються два циліндра, осі обертання яких паралельні, коли перетинаються два конуса вершини яких співпадають. У цих випадках лінія перетину пряма.
Завдання на побудову лінії перетину значно спрощується, якщо одна поверхня займає проецирующее положення. Для цього доцільно скористатися перетворенням креслення, щоб представити пересічні поверхні в приватному положенні або скористатися третьої проекцією.
Наприклад (рис.1), на П3 циліндр займає проецирующее положення.
Малюнок 1. Побудова лінії перетину циліндра і конуса з
використанням третьої проекції.
Розглянемо деякі випадки взаємного розташування поверхонь, які визначають характер лінії перетину.
1. Поверхні можуть повністю або не повністю перетинатися (рис. 2). У разі неповного проникнення (рис.2. А.) Лінія перетину - замкнута або незамкнута просторова крива лінія, симетрична нарисової утворює. У разі повного проникнення (рис.2 б.) Лінія перетину складається з двох симетричних частин. На малюнку 2. в) дві симетричні частини кривої з'єднуються в точці дотику. Проникнення з точкою дотику.
Малюнок 2. Перетин конуса і циліндра
а) Неповне проникнення; б) Повний проникнення; в) Проникнення
з точкою дотику.
2 .Осі поверхонь обертання паралельні:
- знаходяться в одній меридіональної площині (рис.3 а.). Лінія перетину симетрична щодо головного меридіана і збігається.
- знаходяться в різних площинах (рис.3 б.). Лінія перетину симетрична щодо лінії, що з'єднує центри поверхонь.
Малюнок 3. а) Вісь конуса і циліндра знаходяться в одній меридіональної площині, б) Вісь конуса і циліндра знаходяться в різних площинах.
3.Осі поверхонь обертання збігаються. Такі поверхні називаються співісними. Лінія перетину таких поверхонь окружність (рис. 4).
Малюнок 4. Перетин співвісних поверхонь циліндра, конуса і сфери.
4.Особое випадок перетину поверхонь. Теорема Монжа .Якщо дві поверхні другого порядку описані близько третьої або вписані в неї, то лінія їх перетину розпадається на дві плоскі криві другого порядку. Площині цих кривих проходять через пряму, що сполучає точки ліній торкання. Малюнок 5.
Малюнок 5. Особливий випадок перетину поверхонь.
а) Наочне зображення. б) Епюр.
Розглянемо випадок перетину поверхонь обертання, жодна з яких не є проецирующей. У цьому випадку лінія перетину будуватися на обох площинах проекцій (рис. 6).
Побудова лінії перетину виконується в наступному порядку:
Аналізуємо взаємне положення і форму поверхонь.
Визначаємо положення основних і допоміжних точок методом січних площин.
З'єднуємо отримані точки.
Розберемо докладно другий пункт. Точки верху (1) і точка низу кривої (4) розташовуються на перетині головних меридіанів (нарисових утворюють) сфери і конуса, так як їх осі обертання лежать в одній площині, паралельної П2. і через них можна провести допоміжну січну площину.
Між точками 1 і 4 будуть розташовуватися основні і допоміжні точки. Проведемо допоміжну січну площину перпендикулярно осі обертання конуса на рівні екватора сфери, для того щоб визначити положення основних точок (3), які на горизонтальній проекції визначать кордон видимості, а на фронтальній площині проекцій вони будуть збігатися з огляду на симетрії лінії перетину.
Дана допоміжна січна площина II перетинає конус по колу відповідного радіуса, сферу також по колу. Побудуємо ці кола на горизонтальній площині проекцій. На перетині цих кіл (перетинів) виходять горизонтальні проекції шуканих точок 3. Тепер необхідно побудувати їх фронтальні проекції, спроектувавши на січну площину.
Для уточнення форми кривої скористаємося допоміжними точками (2). Для цього проведемо допоміжну січну I площину між точкою 1 і екватором сфери.
Проведення січної площини III нижче точки 4 не має сенсу, так як в цій площині сфера і конус не матимуть спільних точок.
Тепер можна з'єднати отримані точки з урахуванням видимості на горизонтальній проекції.
