історичні відомості
Визначення логарифмічною спіралі
Логарифмічна спіраль - крива, яка перетинає всі промені, що виходять з однієї точки О, під одним і тим же кутом.
Рівняння кривої в полярних координатах:
Відстань між витками зростає зі збільшенням кута.
Побудова логарифмічної спіралі
гіперболічний спіраль архимед логарифмический
Логарифмічна спіраль можна побудувати за допомогою так званого «золотого прямокутника», тобто такого, у якого відношення сторін дорівнює золотому перерізу:
Якщо від золотого прямокутника відрізати квадрат зі стороною, що дорівнює меншій стороні прямокутника, то знову отримаємо золотий прямокутник, але менших розмірів. Якщо продовжити цей процес далі, а потім з'єднати плавною кривою вершини квадратів, то отримаємо логарифмічну спіраль. Точки, що ділять боку прямокутників в середньому і крайньому відношенні, лежать на логарифмічною спіралі, що закручується всередину.
I. Знайдемо довжину дуги логарифмічної спіралі
0 # 63; # 63; 2, використовуючи формулу:
II. Обчислимо площу фігури, обмеженою першим витком логарифмічною спіралі, використовуючи формулу:
Основні властивості логарифмічною спіралі
1. Кут, що складається дотичній в довільній точці логарифмічної спіралі з радіус-вектором точки дотику, постійний і залежить лише від параметра.
2. Параметр m визначає, наскільки щільно і в якому напрямку закручується спіраль. У граничному випадку, коли = 0 спіраль вироджується в коло радіуса. Навпаки, коли прямує до нескінченності (спіраль прагне до прямої лінії. Кут, що доповнює до 90 °, називається нахилом спіралі.
3. Розмір витків логарифмічної спіралі поступово збільшується, але їх форма залишається незмінною.
4. Якщо кут зростає або убуває в арифметичній прогресії, то зростає (убуває) в геометричній.
5. Повертаючи полярну вісь навколо полюса, можна домогтися повного знищення параметра a і привести рівняння до виду r =, де - новий параметр.
6. Радіус кривизни в кожній точці спіралі пропорційний довжині дуги спіралі від її початку до цієї точки.
Логарифмічна спіраль в природі
Логарифмічна спіраль - єдиний тип спіралі, що не змінює своєї форми при збільшенні розмірів. Це властивість пояснює, чому логарифмічна спіраль так часто зустрічається в природі.
Царство тварин надає нам приклади спіралей раковин, равликів і молюсків.
Всі ці форми вказують на природне явище: процес накручування пов'язаний з процесом зростання. Справді, раковина равлики - це не більше, не менше, ніж конус, накручений на себе. Якщо ми уважно подивимося на зростання раковин і рогів, то зауважимо ще одна цікава властивість: зростання відбувається тільки на одному кінці. І це властивість зберігає форму повністю унікальну серед кривих в математиці, форму логарифмічною, або рівнокутної спіралі.
Галактики, шторми і урагани дають вражаючі приклади логарифмічних спіралей.
І нарешті, в будь-якому місці, де є природне явище, в якому поєднуються розширення або стиснення з обертанням з'являється логарифмічна спіраль.
У рослинному світі приклади ще більш кидаються в очі, тому що у рослини може бути нескінченне число спіралей, а не тільки одна спіраль у кожного.
Розташування насіння в будь-якому соняшнику, лусочок в будь-якому ананасі та інші різноманітні види рослин, прості ромашки ... дають нам справжній парад переплітаються спіралей.
Павук плете павутину спіралеподібно.
Логарифмічна спіраль в техніці
Застосування логарифмічною спіралі в техніці засновані на властивості цієї кривої перетинати всі свої радіус-вектори під одним і тим же кутом.
Так, обертові ножі в різних ріжучих машинах мають профіль, окреслений по дузі спіралі, завдяки чому кут різання (кут між лезом ножа і напрямком його швидкості обертання) залишається постійним уздовж всієї кромки рухомого ножа, що забезпечує менший його знос.