Метод орієнтований на вирішення завдань з квадратичними цільовими функціями і грунтується на фундаментальних теоретичних результатах. Хоча використовувані в реальних ситуаціях алгоритми, які є ефективними для квадратичних цільових функцій, можуть погано працювати при більш складних цільових функціях, проте цей підхід видається цілком розумним.
Визначення. нехай
![Метод сполучених напрямків Пауелла (Пауелла) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-cce0b970.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (уздовж направленіяSіз точки) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-58172ab4.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (Пауелла) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-f45c85fa.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (Пауелла) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-dabd4fba.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (напрямків) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-f67b180f.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (уздовж направленіяSіз точки) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-bea8ab4b.png)
Приклад. Розглянемо функцію
.
В якості матриці
![Метод сполучених напрямків Пауелла (уздовж направленіяSіз точки) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-f592027e.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (Пауелла) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-31dee565.png)
В якості одного з напрямків виберемо
![Метод сполучених напрямків Пауелла (пов'язаних) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-77a50918.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (пов'язаних) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-40320492.png)
.
Слід зауважити, що пов'язані напрямки вибираються неоднозначно. Однак якщо додати умова нормування, то їх можна визначити однозначно:
.
Затвердження. Будь-яка квадратична функція
![Метод сполучених напрямків Пауелла (Пауелла) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-c53e9f33.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (пов'язаних) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-6b04c04b.png)
Довільна функція може бути досить добре представлена в околиці оптимальної точки її квадратичної аппроксимацией. Тому пов'язані напряму можуть бути корисні для її оптимізації. Однак потрібно більш ніж
![Метод сполучених напрямків Пауелла (пов'язаних) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-f0477b64.png)
Затвердження. Нехай задана квадратична функція
![Метод сполучених напрямків Пауелла (метод) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-1309d51e.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (уздовж направленіяSіз точки) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-16efc4a3.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (уздовж направленіяSіз точки) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-4a3d106c.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (пов'язаних) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-5512c2c3.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (метод) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-7cceaa21.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (Пауелла) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-76a50a52.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (метод) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-b18b2e70.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (напрямків) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-839bf812.png)
Крок 1. Задати початкову точку
![Метод сполучених напрямків Пауелла (напрямків) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-e416f2f7.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (уздовж направленіяSіз точки) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-e09a527c.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (напрямків) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-7b7375fc.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (метод) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-47209c92.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (уздовж направленіяSіз точки) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-74ea5694.png)
Крок 2. Виконати додатковий крок
![Метод сполучених напрямків Пауелла (Пауелла) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-765026aa.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (метод) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-a9544a37.png)
Крок 3. Нехай
![Метод сполучених напрямків Пауелла (напрямків) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-59f53954.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (метод) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-b97879a2.png)
і
![Метод сполучених напрямків Пауелла (пов'язаних) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-7afe2e47.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (метод) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-e217d54c.png)
Якщо виконуються умови
(*)
то пошук продовжити уздовж первинних напрямків
![Метод сполучених напрямків Пауелла (Пауелла) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-78d448cd.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (напрямків) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-2cae56fe.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (напрямків) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-1bf91066.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (пов'язаних) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-8d46cfc2.png)
Крок 4. Якщо умови
![Метод сполучених напрямків Пауелла (напрямків) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-a95e4418.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (уздовж направленіяSіз точки) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-c444cd72.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (Пауелла) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-eb746656.png)
,
тобто напрямок
![Метод сполучених напрямків Пауелла (уздовж направленіяSіз точки) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-799a11c1.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (напрямків) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-224c6536.png)
Крок 5. Якщо
![Метод сполучених напрямків Пауелла (напрямків) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-a074e3bc.png)
Приклад. Клацнувши по значку, відкриється Mathcad документ методу сполучених напрямків, в якому можна виконати обчислення.
![Метод сполучених напрямків Пауелла (уздовж направленіяSіз точки) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-0518046c.png)
методом сполучених напрямків
Може здатися нераціональним відкидати найвдаліше напрямок поточної ітерації і встановлювати новий перспективний напрямок на останнє місце замість першого. Однак ж неважко бачити, що найвдаліше напрямок швидше за все вичерпало себе, а новий перспективний напрямок тільки що було використано для одновимірної оптимізації і застосовувати його відразу ж немає ніякого сенсу, так як просування просто на буде.
Пауелл довів, що визначник матриці напрямків приймає максимальне значення тоді і тільки тоді, коли напрямки
![Метод сполучених напрямків Пауелла (пов'язаних) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-1c65a9d8.png)
![Метод сполучених напрямків Пауелла (Пауелла) Метод сполучених напрямків Пауелла](https://images-on-off.com/images/135/metodsopryazhennixnapravleniypauella-c776feb5.png)
Доведено, що процедура Пауелла сходиться до точки, в якій градієнт дорівнює нулю, якщо цільова функція строго опукла. Ця точка є локальним мінімумом. Метод дуже чутливий до способу побудови пов'язаних напрямків і тому залежить від точності використовуваного одновимірного пошуку. Пауелл запропонував використовувати послідовність квадратичних інтерполяцій зі спеціальною процедурою налаштування параметрів цього лінійного пошуку. Проте чисельні дослідження показали, що метод сполучених напрямків Пауелла не слід використовувати при розмірності понад 20.