Послідовність сходиться до в МП (записують), якщо
Деякі приклади метричних просторів:
- . Перетворення в МП має бути пов'язане з бажаною операцією граничного переходу. У разі конечномерного простору збіжність збігається з покоординатно сходимостью, хочемо того ж самого для бесконечномерного. Введемо метрику: (стандартний спосіб перетворити в метричний простір рахункове твір метричних просторів, яким і є). Перевіримо, що ця метрика задовольняє аксіомам:
- цей ряд завжди сходиться, так як мажоріруется спадної геометричною прогресією, відповідно, відстань обмежена одиницею.
- перша аксіома: неотрицательность очевидна, рівність метрики нулю в обидві сторони очевидно
- друга аксіома: ще очевидніше
- третя аксіома легко випливає з наступного твердження:
Потрібно встановити еквівалентність збіжності і її збіжності в собі.
:
Так як, і при кожне з доданків у правій частині прагне до, то сходиться в собі за визначенням.
:
Нехай сходиться в собі. Так само, як в попередніх доказах, позначимо. Так як, а, то сходиться в собі також і покоординатно.
Але за повнотою, кожна з послідовностей за окремою координаті сходиться:.
Так як покоординатно збіжність в метриці рівнозначна просто збіжності, то.
Затвердження (компактність прямокутника в R ^ infty):
, де, також. Таким чином, для кожного можна вибрати номер координати, такий, що всі координати з великими номерами сумарно впливають на метрику не більш, ніж на.
Розглянемо - для нього можна скласти кінцеву -мережу (зрозуміло, що по кожній координаті це зробити легко, а далі візьмемо декартовій твір). Зробимо мережу для таким чином: до кожної -мірною точці з допишемо довільні координати.
- На вибір : .
- За визначенням -мережі для:.
- За побудовою і вибору,.
А ще для чогось можна розглянути для простору з мірою на сигма-алгебри простір вимірних на вещественнозначних функцій. Якщо ввести на ньому метрику, то збіжність послідовності функцій в ній буде рівносильна збіжності в міру.
[Ред] Примітки
- ↑ Кому цікаво: метричний простір задовольняє першій аксіомі счетності, а вона не може виконуватися в, яке зрозуміло як зводиться до: Why is not first countable?
- ↑ В конспекті тільки в пряму сторону, але взагалі, начебто, це критерій. Док-во є в Колмогорова, елементи теорії функції і функана, 6 видання, сторінка 107.