Модою дискретної випадкової величини називається найбільш ймовірне значення. Для неперервної випадкової величини мода є таке значення випадкової величини, якому відповідає найбільше значення щільності розподілу.
Якщо крива щільності розподілу має два або кілька максимумів, то розподіл називається двухмодальним або многомодальним.
Медианой випадкової величини X називається таке її можливе значення, щодо якого равновероятно отримання більшого або меншого значення випадкової величини
Це рівність означає, що медіана - це абсциса точки, в якій площа, обмежена кривою щільності розподілу, ділиться навпіл.
Моменти випадкової величини.
Момент випадкової величини - числова характеристика розподілу даної випадкової величини.
Якщо дана випадкова величина визначена на деякому імовірнісному просторі, то:
-м початковим моментом випадкової величини де називається величина
якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначено;
-м центральним моментом випадкової величини називається величина
-м факторіальним моментом випадкової величини називається величина
якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначено.
Якщо визначені моменти -го порядку, то визначені і всі моменти нижчих порядків
В силу лінійності математичного очікування центральні моменти можуть бути виражені через початкові, і навпаки. наприклад:
Геометричний сенс деяких моментів
дорівнює математичному очікуванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
дорівнює дисперсії розподілу і показує розкид розподілу довкола середнього значення.
. будучи відповідним чином нормалізований, є числовою характеристикою симетрії розподілу. Більш точно, вираз
називається коефіцієнтом асиметрії.
контролює, наскільки яскраво виражена вершина розподілу в околиці середнього. величина
називається коефіцієнтом ексцесу розподілу
Моменти можуть бути обчислені безпосередньо через визначення шляхом інтегрування відповідних ступенів випадкової величини. Зокрема, для абсолютно неперервного розподілу з щільністю маємо:
а для дискретного розподілу з функцією ймовірності
Також моменти випадкової величини можуть бути обчислені через її характеристичну функцію:
Якщо розподіл таке, що для нього в деякій околиці нуля визначена виробляє функція моментів моменти можуть бути обчислені за такою формулою:
Коефіцієнт асиметрії, ексцес.
Числова характеристика асиметрії розподілу ймовірностей, що визначається через центральні моменти 2-го і 3-го порядків:
Коефіцієнт асиметрії (skewness) - числова характеризує ступеня несиметричності розподілу даної випадкової величини.
Нехай задана випадкова величина. така що.
Коефіцієнт асиметрії розподілу випадкової величини визначається формулою:
ексцес, - скалярна характеристика гостровершинності графіка щільності ймовірності унімодального розподілу, доурую використовують в якості деякої міри відхилення розглянутого розподілу від нормального. Е. к. Визначається за формулою
де є 2-й коефіцієнт Пірсона, і - 2-й і 4-й центральні моменти ймовірнісного розподілу.
розподіл ймовірностей числа появ деякої події при повторних незалежних випробуваннях. Якщо при кожному випробуванні ймовірність появи події дорівнює р, причому 0 ≤ p ≤ 1, то число # 956; появ цієї події при n незалежних випробуваннях є випадкова величина, що приймає значення m = 1, 2. n з імовірностями
де q = 1 - p, a - біноміальні коефіцієнти (звідси назва Б. р.). Наведена формула іноді називається формулою Бернуллі. Математичне сподівання і Дисперсія величини # 956 ;, що має Б. р. рівні М (# 956;) = np иd (# 956;) = npq. відповідно. При великих n, в силу Лапласа теореми (Див. Лапласа теорема), Б. р. близько до нормальному розподілу (Див. Нормальний розподіл), чим і користуються на практиці. При невеликих n доводиться користуватися таблицями Б. р.
Розподіл Пуассона - імовірнісний розподіл дискретного типу, моделіруетслучайную величину
представляє собою число подій, що сталися за фіксований час, за умови, що дані події відбуваються з деякою фіксованою середньою інтенсивністю і незалежно один від одного.
Розподіл Пуассона грає ключову роль в теорії масового обслуговування.
Виберемо фіксований число і визначимо дискретний розподіл, що задається наступною функцією ймовірності:
· Позначає факторіал числа,
· - основа натурального логарифма.
Той факт, що випадкова величина має розподіл Пуассона з параметром. записується:.