Первісна та невизначений інтеграл.
Нехай функції і визначені на інтервалі (a, b). Якщо функція має похідну на інтервалі (a, b) і якщо для всіх виконується рівність
то функція називається первісною для функцііf (x).
Зауваження 1. Поняття первісної можна ввести і для інших проміжків (полуінтервала - кінцевого або нескінченного, відрізка).
Дамо визначення первісної на відрізку. Якщо функції і визначені на відрізку [a, b], причому функція F дифференцируема на інтервалі (a, b). неперервна на відрізку [a, b] і для всіх виконується рівність (1), то функцію назвемо первісною для функцііf (x) на відрізку [a, b].
Зауваження 2. Якщо - первісна для функції на інтервалі (a, b). то функція при будь-якому значенні також є первісною для.
Справедливо і зворотне.
Теорема. Есліі- дві первісні для функцііf (x) на інтервалі (a, b), то для всехвиполняется рівність
Позначимо. За визначенням первісної в силу умови теореми для всіх виконуються рівності
звідки випливає, що функція Ф (x) диференційована на інтервалі (a, b) і для всіх має місце рівність
Згідно зі слідством 1 з теореми Лагранжа для всіх або тобто справедливо рівність (2).
Зауваження 3. Надалі доводиться, що первісна існує для будь-якої функції, неперервної на відрізку (або інтервалі).
Поняття невизначеного інтеграла
Сукупність всіх первісних для функції f (x) на деякому проміжку називають невизначеним інтегралом від функції f на цьому проміжку. позначають символом і пишуть
Тут F (x) - якась первісна функції f на проміжку. С - довільна стала. Знак називають знаком інтеграла, f- підінтегральної функцією, f (x) dx- подинтегрального виразом.
Підінтегральний вираз можна записати у вигляді або dF (x). тобто
Операцію знаходження невизначеного інтеграла від даної функції, яка є зворотною операції диференціювання, називають інтегруванням. Тому будь-яку формулу для похідної, тобто формулу виду. можна записати у вигляді (3).
Властивості невизначеного інтеграла
З рівності (3) випливає, що
Рівність (6) випливає з рівностей (3) і (4).
Властивість 3. Якщо функціяf (x) і g (x) мають на деякому проміжку первісні, то для любихтакіх, що, функціятакже має первісну на цьому проміжку, причому
Нехай F і G - первісні для функцій f і g відповідно, тоді - первісна для функції. так як . Згідно з визначенням інтеграла ліва частина (7) складається з функцій виду. а права частина - з функцій виду Так як. то кожна функція виду належить сукупності функцій. і навпаки, тобто по заданому числу З можна знайти. а по заданих - число С таке, щоб виконувалося рівність.
ДЛЯ ДОВІДКИ. Некотрая МЕТОДИ РІШЕННЯ.
Метод заміни змінної (метод підстановки). [- підстановка Ейлера. ]
Метод інтегрування частинами.
