Якщо на вхід будь-якої системи подати сигнал синусоїдальної форми:
Очевидно, що вихідний сигнал буде мати ту ж форму:
Залежність же між амплітудами і фазами вихідного і вхідного сигналів визначає ДУ руху системи. Возмем довільне, вважаючи перешкоду f (t) дорівнює нулю:
Підставами сигнали в рівняння руху:
Знайдемо відношення вихідного сигналу до вхідного:
Зауважимо. Якщо замість підстановки сигналів записати ДУ руху системи для домену Лапласа і знову знайти відношення вихідного сигналу до вхідного (а точніше їх зображень), то отримана в ході цього перетворення ПФ співпаде з точністю до вільної змінної з частотної ПФ.
Резюме 1. Частотна передавальна функція виходить зі звичайної заміною оператора Лапласа s на комплексну частоту j w. тобто в результаті переходу від зображення Лапласа до зображення Фур'є.
Резюме 2. ДУ руху системи пов'язує вхідний і вихідний сигнали (тобто функції часу), ПФ связивется зображення Лапласа тих же сигналів, а частотна ПФ пов'язує їх спектри.
частотні характеристики
Частотна передаточна функція може бути представлена в наступному вигляді:
- A (w) - модуль частотної передавальної функції - знаходиться як відношення модулів чисельника і знаменника:
Амплітудно-фазова (частотна) характеристика або годограф Найквіста
Амплітудно-фазова характеристика (годограф Найквіста) Графічне відображення для всіх частот спектра відносин вихідного сигналу САР до вхідного, представлених в комплексній формі. Величина відрізка від початку координат до кожної точки годографа показує у скільки разів на даній частоті вихідний сигнал більше вхідного, а зрушення фази між сигналами визначається кутом до згаданого відрізку.
Від АФХ породжуються всі інші частотні залежності:
- U (w) - парна (для замкнутих САР P (w));
- V (w) - непарна;
- A (w) - парна (АЧХ);
- j (w) - непарна (ФЧХ);
- ЛАЧХ ЛФЧХ - використовуються найбільш часто.
Логарифмічні ЧХ - ЛАЧХ ЛФЧХ
побудова ЛАЧХ ЛФЧХ проводиться по виразах:
Чисельник і знаменник ПФ САР можуть бути представлені або у вигляді відношення поліномів:
або у вигляді відношення їх розкладів на елементарні множники:
Підстановка s ¬ j w дозволяє перейти в частотний домен. При наявності ЕОМ побудова ЛАЧХ ЛФЧХ не складе труднощів в будь-якому випадку. Однак розкладена на множники ПФ (1) дозволяє побудувати асимптотичні ЛАЧХ ЛФЧХ практично без обчислювальної роботи. Кожен лінійний множник її чисельника і знаменника є комплексне число. Знайдемо модуль кожного (як гіпотенузу прямокутного трикутника), і перейдемо до логарифмическому масштабу:
Для спрощення подальших побудов позбудемося операції множення, замінивши її операцією додавання в логарифмічному домен:
Легко зрозуміти, що кожний доданок вираження (2) є або пряма лінія, або асимптотично наближається до прямих ліній при устремлінні частоти до нуля і до безкінечності. Нахил аппроксимирующих прямих завжди кратний 20 дБ за декаду.
Для побудови ЛФЧХ необхідно знайти фазу кожного множника чисельника і знаменника частотної ПФ, як арктангенс відносини його протилежного катета до прилеглого (нагадаємо, що при творі комплексних чисел (в експоненційної формі) фази (показники ступеня) складаються, а при розподілі - віднімаються). Таким чином, побудова ЛФЧХ проводиться за виразом:
Відзначимо так само, що одному Белу відповідає збільшення потужності в 10 разів. Оскільки A - це фізична величина або першого, або другого роду, а не їх твір (тобто не потужність); збільшення її в 10 разів відповідає збільшенню потужності в 100 разів, що відповідає двом Белам або 20 дБ.
Правила побудови асимптотичних ЛАЧХ ЛФЧХ
Правила побудови асимптотичних ЛАЧХ ЛФЧХ, точніше кожного доданка вираження (2) показані на малюнках.
Точність асимптотичних ЛАЧХ ЛФЧХ достатня в більшості випадків. Для ланок першого порядку максимальна амплітуда помилка поблизу частоти сполучення становить 3 дБ. Максимальна фазова помилка - 6%. Фрагмент ЧХ коливального ланки поблизу резонансної частоти лише іноді слід уточнити по опорним довідковим кривим для даного z.