З іншого боку, згідно із законом Ома для активної ділянки ланцюга:
Підставами (13.2) в (13.1):
Перегруппіруем складові в (13.3):
Ми отримали рівняння для потенціалу довільного вузла ланцюга. Як видно, в ньому фігурують параметри гілок, що примикають до вузла, і потенціали вузлів, на які спираються ці гілки.
Перший закон Кірхгофа дозволяє отримати незалежні рівняння для всіх вузлів, крім одного. Разом з тим, потенціал визначається з точністю до довільної сталої. Отже, потенціал одного вузла можна задати, наприклад, прирівняти нулю. В цьому випадку отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, що має єдине рішення.
Користуючись загальним виразом (13.4), сформулюємо алгоритм методу вузлових потенціалів.
Алгоритм розрахунку ланцюга методом вузлових потенціалів
- Заземлюється довільний вузол ланцюга, тобто його потенціал приймається рівним нулю. Для укорочення рівнянь доцільно заземлювати вузол з найбільшим числом відповідних до нього гілок. Якщо в ланцюзі є одна гілка з нульовим опором і ЕРС, заземлюється вузол цієї гілки. Потенціал другого вузла цієї гілки обчислюється автоматично. Якщо подібних гілок кілька, необхідно їх усунути винесенням ЕРС з гілки.
- Для решти вузлів складається система лінійних алгебраїчних рівнянь. Рівняння для кожного вузла складається так:
а) потенціал вузла множиться на суму провідностей, що підходять до вузла;
б) з отриманого твори віднімаються потенціали всіх інших вузлів, помножені на провідності сполучних гілок;
в) в правій частині рівняння - алгебраїчна сума добутків ЕРС у всіх гілках, що примикають до вузла, на провідність своєї гілки плюс сума джерел струму, що примикають до вузла; з плюсом беруться джерела струму і ЕРС, спрямовані до вузла, з мінусом - протилежні.
- Після розрахунку потенціалів вузлів визначаються струми в гілках за законом Ома і першим законом Кірхгофа. Струм в галузі з нульовим опором визначити за законом Ома можна. У цьому випадку використовується перший закон Кірхгофа.
- Матриця системи рівнянь симетрична щодо головної діагоналі. Рівняння в системі мають розмірність струму.
Визначити струми методом вузлових потенціалів (Рис. 13.4).
Заземлюючих вузол d:
Тоді автоматично визначаються потенціали вузлів e і a. Потенціал вузла e також дорівнює нулю. ЕРС E1 спрямована від меншого потенціалу до більшого, значить потенціал вузла a більше потенціалу вузла d на величину ЕРС:
Систему рівнянь складаємо для потенціалів вузлів b і c:
Звернути увагу: в першому рівнянні в лівій частині фігурує потенціал вузла a, так як вузол a пов'язаний з вузлом b гілкою з опором R2.
Потенціал вузла a відомий, тому перенесемо його в праву частину системи з протилежним знаком:
Після рішення системи рівнянь визначаємо струми згідно із законом Ома і першим законом Кірхгофа. Щоб правильно використовувати закон Ома, розставимо на схемі напруги (Рис. 13.5):
Напруги пов'язані з потенціалами наступними співвідношеннями:
Визначаємо струми згідно із законом Ома:
Токи I1 і I7 визначаємо за першим законом Кірхгофа:
Метод двох вузлів
У тому випадку, якщо в колі є всього два вузли, використання методу вузлових потенціалів призведе до одного рівняння, з якого відразу можна висловити напруга між вузлами.
Для ланцюга з двома вузлами (Рис. 13.6) складемо рівняння за методом вузлових потенціалів, прирівнявши нулю потенціал вузла b:
Так як напруга між вузлами:
Аналіз формули (13.6) дозволяє узагальнити її для будь-якої довільної ланцюга з двома вузлами:
У чисельнику виразу (13.7) - сума джерел струму плюс сума творів ЕРС на провідність своєї гілки. З плюсом беруться джерела, спрямовані до вузла більшого потенціалу. У знаменнику - сума провідностей всіх гілок, як активних, так і пасивних.
Визначити струми методом двох вузлів (Рис. 13.7).
Відповідно до методу двох вузлів напруга між вузлами:
Токи визначаються згідно із законом Ома:
14. Теорема Про КОМПЕНСАЦІЇ
Виділимо зі складної схеми гілка. Складна ланцюг, що розглядається щодо будь-якої гілки, називається двополюсників. Якщо всередині схеми є джерела енергії, двухполюсник називається активним (Рис. 14.1).
Якщо в гілку включити дві однакові і протилежно спрямовані ЕРС (Рис. 14.2), то ні в самій галузі, ні в активному двухполюсника Токораспределение не зміниться.
За другим законом Кірхгофа запишемо рівність:
Так як ЕРС E може мати будь-який довільне значення, будемо вимагати, щоб виконувалося рівність:
Підставивши (14.2) в (14.1), виявимо, що
Напруга між точками c і a дорівнює нулю. Значить, потенціали цих точок рівні, і точки можна з'єднати (Рис. 14.3).