Визначення похідної Лі і першого інтеграла системи
Розглянемо систему \ (n \) - го порядку \ [\ frac >>> = \ left (,, \ ldots,> \ right), \; \; i = 1,2, \ ldots, n, \] де \ (\ left (,, \ ldots,> \ right) \) є безперервно диференціюються дійсними функціями, заданими в деякій області \ (D \ in>. \) у векторній формі дана система записується як \ [= \ mathbf \ left (> \ right), \; \; \ text> \; \; = \ Left (> \ left (t \ right)> \\ \ left (t \ right)> \\ \ vdots \\ \ left (t \ right)> \ end> \ right),> \; \; = \ Left (>> \\> \\ \ vdots \\> \ end> \ right).> \] Нехай в області \ (D \) визначена також безперервно диференціюється векторна функція \ (\ mathbf \ left (> \ right ). \) похідна векторної функції \ (\ mathbf \ left (> \ right) \) у напрямку векторного поля \ (\ mathbf \ left (> \ right) \) (похідна Лі) визначається виразом \ [>> \ mathbf = \ left (\, \ mathbf, \ mathbf> \ right)> = >>> + \ sum \ limits_ ^ n >>>>> = \ frac >>>,> \] де \ (\ text \, \ mathbf \) - градієнт функції \ (U, \) а \ (\ left (\, \ mathbf, \ mathbf> \ right) \) позначає скалярний добуток векторів \ (\ text \, \ mathbf \) і \ (\ mathbf. \)
Введена похідна у напрямку векторного поля (похідна Лі) є узагальненням поняття похідної по постійному напрямку, яка широко використовується при дослідженні функцій декількох змінних.
Якщо непостійна функція \ (\ mathbf \ left (> \ right) \) задовольняє співвідношенню \ [> \ mathbf \ equiv 0 \] для всіх \ (\ mathbf \ in D, \) то вона називається першим інтегралом системи.
У разі автономних систем (коли праві частини рівнянь \ (\) не залежить явно від змінної \ (t \)), перший інтеграл визначається більш простим виразом: \ [> \ mathbf \ equiv 0,> \; \; >>> = \ sum \ limits_ ^ n >>>>> \ equiv 0,> \; \; \ Left (\ mathbf \ right) \ equiv C,> \] де \ (C \) - постійне число. Далі ми обмежимося розглядом автономних систем.
Як видно, перший інтеграл залишається постійним уздовж будь-якого рішення \ (\ mathbf \ left (t \ right). \) Іншими словами, фазові траєкторії \ (\ mathbf \ left (t \ right) \) системи лежать на одній з поверхонь рівня першого інтеграла \ (\ mathbf \ left (\ mathbf \ right). \) У випадку системи другого порядку це будуть лінії рівня першого інтеграла.
Припустимо, що для автономної системи порядку \ (n \) знайдено \ (k \) перших інтегралів: \ [_ 1> \ left (\ mathbf \ right), _ 2> \ left (\ mathbf \ right), \ ldots, _k> \ left (\ mathbf \ right), \; \; k 0, \; y> 0.> \]