Застосовуючи вищевикладені властивості многочленів, розглянемо можливі схеми графіків многочленів третього ступеня. Нехай старший коефіцієнт многочлена a - позитивне число.
Многочлен має дві точки екстремуму, в цьому випадку його похідна має два різних кореня, тобто дискриминант цього квадратного тричлена. Ця ситуація відбивається в окремих випадках, коли многочлен має три різних дійсних корені x1. x2. x3. а також коли многочлен має два різних кореня, один з яких має кратність два. У цьому випадку графік має вигляд:
многочлен має 1 корінь, а його похідна - 2 кореня
многочлен має 3 корені, а його похідна - 2 кореня
многочлен має 2 корені і його похідна - 2 кореня
У многочлена немає екстремумів, тобто .
У цьому випадку графік являє собою монотонно зростаючу функцію.
Аналогічно будуються графіки кубічних парабол при негативному старшому коефіцієнті. Отримуємо зведену таблицю різних видів графіків многочленів третього ступеня:.
Приклад 5.2.
Побудувати графік функції.
Рішення.
Розкладемо многочлен на множники:. Відзначимо на осі абсцис коріння функції: -2; 0; 2.
При великих негативних значеннях x значення функції - великі негативні числа. Застосовуючи властивість безперервності і властивість кратності (всі корені кратності один - в точці перетину функція змінює знак на протилежний). помічаючи, що при необмеженому зростанні x значення функції прагнуть до плюс нескінченності, будуємо схему графіка функції.
Приклад 5.3.
Побудувати графік функції.
Рішення.
Многочлен має два кореня: x1 = -3 кратності два і x2 = 1 кратності один.
При великих негативних функція приймає великі позитивні значення. При наближенні аргументу до числа -3 значення функції зменшуються і прагнуть до нуля. При переході через корінь значення функції не змінюють знак (кратність кореня парна), на інтервалі (-3; 1) функція досягає максимуму, так як при x = -3 вона знову звертається в нуль. При переході через корінь x = 1 функція змінює свій знак з позитивного на негативний (кратність кореня непарна) і прагне до мінус нескінченності при необмеженому збільшенні аргументу.