Порівняння нескінченно малих величин
Як відомо, сума, різниця і твір двох б.м.ф. є функція нескінченно мала. Ситуація щодо ставлення двох б.м.ф. може вести себе по-різному: бути кінцевим числом, бути нескінченно великою функцією, нескінченно малої або взагалі не прагнути ні до якої межі.
Дві б.м.ф. порівнюються між собою за допомогою їх відносини.
Нехай α = α (х) і ß = ß (х) є б.м.ф. при х → хо. т. е.
1. Якщо = А 0 (АєR), то α і ß називаються нескінченно малими одного порядку.
2. Якщо, = 0, то α називається нескінченно малою вищого порядку. ніж ß.
3. Якщо = ∞, то α називається нескінченно малою нижчого порядку, ніж ß.
4. Якщо не існує, то α і ß називаються непорівнянні нескінченно малими.
Відзначимо, що такі ж правила порівняння б.м.ф. при х → ± ∞, х → х0 ± 0.
<<Пример 18.1<
Порівняти порядок функцій α = 3х 2 і ß = 14х 2 при х → 0
Рішення: При х → 0 це б.м.ф. одного порядку, так як
Кажуть, що б.м.ф. а й ß одного порядку прагнуть до нуля з приблизно однаковою швидкістю
<<Пример 18.2
Чи є функції α = 3х 4 і ß = 7х б.м.ф. одного порядку при х → 0?
Рішення: При х → 0 функція α є б.м.ф. більш високого порядку, ніж ß, так як
В цьому випадку б.м.ф. α прагне до нуля швидше, ніж ß.
<<Пример 18.3
Порівняти порядок функцій α = tgx і ß = х 2 при х → 0.
Рішення: Так як
то α є б.м.ф. нижчого порядку, ніж ß.
<<Пример 18.4
Чи можна порівняти функції і ß = х при
Рішення: Функції і ß = х при х → 0 є високими порівняно б.м.ф. так як межа