Визначення та формули приватного рішення ДУ
Нехай на деякому інтервалі задано диференціальне рівняння
Приватним рішенням цього диференціального рівняння на вказаному інтервалі називається кожна функція, яка при підстановці в рівняння виду (1) звертає його в правильне тотожність на заданому інтервалі.
Довести, що функція є приватним рішенням рівняння
Підставами задану функцію в аналізованих диференціальне рівняння. Для цього спочатку знайдемо її другу похідну.
Отже, отримуємо, що
Що й потрібно було довести .
Теорема. Знаючи загальне рішення однорідного диференціального рівняння і будь-яка приватна рішення неоднорідного рівняння, можна отримати загальне рішення неоднорідного рівняння у вигляді суми загального рішення однорідного рівняння і приватного рішення неоднорідного.
Наведена теорема вірна лише для лінійних диференціальних рівнянь.
Знайти рішення неоднорідного лінійного диференціального рівняння другого порядку
Розглянемо спочатку відповідне однорідне диференціальне рівняння
і знайдемо його загальне рішення. характеристичне рівняння
Тобто загальне рішення однорідного рівняння
Приватне рішення неоднорідного диференціального рівняння будемо шукати по виду правої частини. Вона (права частина) являє собою твір константи 2 на експоненту, тоді, оскільки 1 перестав бути коренем характеристичного рівняння, то частинний розв'язок шукаємо у вигляді:
Це рішення повинно задовольняти рівняння, тому, підставивши його в початкове, отримаємо тотожність. Знайдемо похідні першого і другого порядків:
Таким чином, відповідно до теореми, шукане загальне рішення неоднорідного лінійного диференціального рівняння