Рішення нерівностей (метод підстановки).
Підстановкою в математиці називається введення нової змінної. Підстановка дозволяє звести рішення нерівності або рівняння до двох або декількох більш простим неравенствам або рівнянням. вирішуючи нерівність
f (x) <0 (>, , ), Можна зробити підстановку або в самим нерівність, або при вирішенні рівняння f (x) = 0 (третій крок методу інтервалів). Пояснимо це на прикладі. Досить часто, використовуючи метод постановки, вдається знизити ступінь рівняння або нерівності.
Приклад 1. Вирішити нерівність х 4 - х 2 - 2 0.
Нехай t = х 2. Після такої підстановки вийде нерівність t 2 - t - 2 0, яке ми вирішимо методом інтервалів.
f (t) = t 2 - t - 2; ця функція неперервна на всій області визначення.
f (3) = 3 2 - 3 - 2 = 4> 0;
Таким чином, функція f (t) = t 2 - t - 2 - t - 2 - t - 2 приймає значення невеликі 0, якщо -1 t 2. Здійснити зворотний перехід до змінної x, тоді -1 x 2 2. Це подвійне нерівність рівносильна системі нерівностей і, отже, x [-; ].
Рішення 2. Вирішимо нерівність x 4 - x - 2 0 методом інтервалів.
Вирішимо біквадратне рівняння х 4 - x 2 - 2 = 0.
Нехай t = x 2. t 2 - t2 = 0, звідси t1 = - 1, t2 = 2.
Виробляємо зворотний перехід до змінної x.
Обчислюємо значення функції f (x) = x 4 - x 2 - 2,
f (2) = 2 4 - 2 2 -2> 0;
f (0) = 04 - 02 - 2 <0;
f (-2) = (-2) 4 - (-2) 2 - 2> 0.
Таким чином функція f (x) приймає недодатні значення на проміжку [-; ].
Рішення 1 дає можливість звести біквадратне нерівність до квадратному
t 2 - t - 2 0. Далі рішення цієї нерівності потрібно "перевести з мови t на мову х". В цьому і перевага, і недолік рішення 1. Нерівність зводиться до відносно простому, але перехід від х до t може викликати труднощі. Наприклад, якби t = х +, то довелося б вирішувати систему
Рішення 2 добре тим, що воно дає остаточну відповідь. Недолік цього способу: при вирішенні більш складних прикладів є небезпека помилитися в обчисленнях знака функції на інтервалах знакопостоянства.
Приклад 2. Вирішити нерівність 7 - x.
При вирішенні нерівностей, що містять квадратні корені, необхідно пам'ятати, що зведення в квадрат обох частин нерівності, зберігаючи знак нерівності, можна лише тоді, коли обидві частини нерівності приймають невід'ємні значення. Якщо ж обидві частини нерівності приймають недодатні значення при зведенні в квадрат необхідно змінити знак нерівності на протилежний. У перерахованих випадках можливі появи сторонніх рішень. Зведення нерівності в квадрат в тих випадках, коду частини нерівності мають протилежні знаки, т. Е. Одна частина приймає невід'ємні значення, а інша недодатні значення може привести до втрати рішень.
Введемо вспогательную змінну. Нехай t =, де t 0, (з визначення квадратного кореня)
тоді t 2 = x + 5; звідки x = t 2 - 5 і маємо нерівність t 7 - t 2 + 5;
f (t) = t 2 + t - 12; ця функція неперервна на всій області визначення. Формулу, що задає функцію, зручніше записати так f (x) = (x - 3) (x + 4).
f (4) = 4 2 +4 - 12 = 8> 0;
Таким чином, функція f (t) = t 2 + t - 12 приймає значення невеликі 0, якщо -4 t 3. Так як t 0, то 0 t 4. Здійснити зворотний перехід до змінної x, тоді
0 3. Так як всі частини нерівності невід'ємні, то зведемо їх в квадрат 0 x + 5 9, звідки -5 x 4 і, отже,
Приклад 3. Розв'язати нерівність 2x 2 - 8x + 6>.
У лівій частині неравество винесемо 2 за дужки 2 (x 2 - 4x + 3)> і введемо допоміжну змінну.
Нехай t =, тоді t> 0 і 2t 2> t; 2t 2t> 0; t (2t -1)> 0.
У лівій частині нерівності задана квадратна функція, в якій старший коефіцієнт дорівнює 1, а нулі 0 і 0,5. З властивостей цієї функції слід:
Таким чином нерівність 2t 2> t рівносильна нерівності t> 0,5.
Виконуємо зворотну заміну змінних.
> 0,5, де x <1 или x> 3.
x 2 - 4x + 3> 0,25;
4x 2 - 16x + 11> 0;
D / 4 = 64 - 44 = 20, D> 0.
Неважко встановити, що 0,5 <<1 и 3 <<3,5.
Таким чином рішенням вихідної нерівності є наступне безліч x (-;) (; +).
Приклад 4. Вирішити нерівність 2sin 2 x - 3sinx - 2 <0.
Нехай sinx = t, де t [-1; 1] (1), тоді отримаємо квадратне нерівність
2t 2 - 3t - 2 <0.
Для його вирішення будемо використовувати властивості квадратної функції.
1) Її старший коефіцієнт дорівнює 2.
2) D = 3 2 - 4 2 (-2) = 9 + 16 = 25, отже, D> 0.
3) t1 = -0,5; t2 = 2, тому рішенням нерівності є безліч чисел
t (-; - 0,5) (2; +) (2).
Перетин множин (1) і (2) є безліч [-1; -0,5).
Зробимо зворотний перехід до змінної х, отримаємо нерівність.
-1 sinx <-0,5. Для решения этого двойного неравенства воспользуемся свойствами функции y = sinx.
x (- + 2 k; - + 2 k), де k Z.
Відповідь: x (- + 2 k; - + 2 k), де k Z.
Приклад 5. Вирішити нерівність 3> lg () + 2.
Так як х> 0 при x <0 и = |x|, где |x| = -x при указанных выще условиях, то заданное неравенство, при x <0, можно заменить равносильным ему неравенством 3> lg (-x) + 2. Нехай t =, отримаємо квадратне нерівність t 2 - 3t + 4 <0.
1) Старший коеефіціент квадратного тричлена позитивний.
2) Коріння квадратного тричлена: t1 = 1, t2 = 2.
3) Квадратний тречлен приймає негативні значення при 1 Отримуємо нерівність 1 <<2. Все три части неравенства положительны, возведем их в квадрат. -1000 Схожі статті