Затухаючі коливання - коливання, енергія яких зменшується з плином часу. Нескінченно що триває процес виду в природі неможливий. Вільні коливання будь-якого осцилятора рано чи пізно загасають і припиняються. Тому на практиці зазвичай мають справу з затухаючими коливаннями. Вони характеризуються тим, що амплітуда коливань A є спадною функцією. Зазвичай загасання відбувається під дією сил опору середовища, найбільш часто висловлюються лінійної залежністю від швидкості коливань або її квадрата.
Нехай є система, що складається з пружини (підкоряється закону Гука), один кінець якої жорстко закріплений, а на іншому знаходиться тіло масою m. Коливання відбуваються в середовищі, де сила опору пропорційна швидкості з коефіцієнтом c (див. В'язке тертя).
Тоді другий закон Ньютона для даної системи запишеться так:
де - сила опору, - сила пружності
або в диференціальної формі
де k - коефіцієнт пружності в законі Гука, c - коефіцієнт опору, який встановлює співвідношення між швидкістю руху грузика і виникає при цьому силою опору.
Для спрощення запроваджуються такі позначення:
Величину називають власною частотою системи, - коефіцієнтом загасання.
Тоді диференціальне рівняння набирає вигляду
Зробивши заміну. отримують характеристичне рівняння
Коріння якого обчислюються за такою формулою
![Рівняння згасаючих коливань (згасаючих) Рівняння згасаючих коливань](https://images-on-off.com/images/145/uravneniezatuxayushixkolebaniy-2d3af788.png)
Залежність графіків коливань від значення.
Залежно від величини коефіцієнта загасання рішення розділяється на три можливих варіанти.
Якщо. то є два дійсних кореня, і рішення диференціального рівняння набуває вигляду:
У цьому випадку коливання з самого початку експоненціально загасають.
Якщо. два дійсних корені збігаються. і рішенням рівняння є:
В даному випадку може мати місце тимчасове зростання, але потім - експоненціальне загасання.
Якщо. то рішенням характеристичного рівняння є два комплексно сполучених кореня
Тоді рішенням вихідного диференціального рівняння є
Де - власна частота згасаючих коливань.
Константи і в кожному окремому випадку визначаються з початкових умов:
Загасанням коливань називається поступове ослаблення коливань з плином часу, обумовлене втратою енергії коливальної системою. Закон загасання коливань залежить від властивостей коливальної системи. Система називається лінійної. якщо параметри, що характеризують істотні в даному процесі фізичні властивості системи, не змінюються в ході процесу. Вільні затухаючі коливання лінійної системи описуються рівнянням:
![Рівняння згасаючих коливань (згасаючих) Рівняння згасаючих коливань](https://images-on-off.com/images/145/uravneniezatuxayushixkolebaniy-af4005cb.png)
Для вирішення рівняння (7.1.1) проводиться підстановка. Ця підстановка приводить до характеристическому рівняння:
яке має два кореня:
При не дуже великій загасання (при) подкоренное вираз буде негативним. Якщо його представити у вигляді. де - речова позитивна величина, яка називається циклічною частотою загасаючих коливань і рівна. то корені рівняння (3) запишуться у вигляді:
Спільним рішенням рівняння (7.1.1) буде функція:
яку можна представити у вигляді:
Тут і - довільні постійні.
Відповідно до (7.1.6) рух системи можна умовно розглядати як гармонійне коливання частоти w з амплітудою, що змінюється за законом:
Швидкість загасання коливань визначається коефіцієнтом загасання. Відповідно до виразом (7.1.7) коефіцієнт загасання обернений за величиною того проміжку часу, за який амплітуда коливань зменшується в «e» = 2.718 раз.
Період затухаючих коливань
Період затухаючих коливань визначається формулою:
При незначному загасання () період коливань практично дорівнює. З ростом період збільшується. Зі співвідношення (7.1.7) випливає, що. Таке ставлення амплітуд називається декрементом загасання. а його натуральний логарифм - логарифмічним декрементом загасання:
Логарифмічний декремент загасання обернений за величиною числа коливань, що здійснюються за той час, за яке амплітуда зменшується в «e» раз. Крім розглянутих величин для характеристики коливальної системи використовується величина. звана добротністю коливальної системи. Добротність пропорційна числу коливань, що здійснюються системою за той час, за яке амплітуда коливань зменшується в «e» раз. Великим значенням добротності відповідає мале загасання. Енергія коливальні системи убуває з часом. Це обумовлено наявністю загасання. При малому загасанні, коли енергія змінюється за законом:
де - значення енергії в початковий момент.
Можна показати, що при слабкому загасанні добротність з точністю до множника 2p дорівнює відношенню енергії, запасеної в системі в даний момент часу, до убутку цієї енергії за один період коливань.
З ростом g період коливань збільшується. При період звертається в нескінченність, тобто рух перестає бути періодичним. При виведена з положення рівноваги система повертається в нього, не здійснюючи коливань.
При незначному загасання () період коливань практично дорівнює. З ростом період збільшується. Зі співвідношення (7.1.7) випливає, що. Таке ставлення амплітуд називається декрементом загасання. а його натуральний логарифм - логарифмічним декрементом загасання: