Як визначити концентрацію носіїв в заданому полупроводнике при заданій температурі? Це найважливіше завдання статистичної фізики. Для вирішення цього завдання необхідно знати число квантових станів в заданому інтервалі енергій і ймовірність знаходження частинок в цих станах. Отже, для визначення концентрації носіїв заряду в напівпровіднику необхідно знати фактичне число станів зайнятих електронами і дірками.
Графічна інтерпретація розрахунку концентрації носіїв заряду у власному напівпровіднику представлена на рис. 7.
Мал. 7 I - це енергетична (зонна) діаграма власного напівпровідника.
В теорії твердого тіла показується, що енергетичні рівні розподілені по висоті дозволеної зони неравноменно: щільність їх змінюється від кордону в глиб зони
Мал. 7 Графічна інтерпретація розрахунку концентрації носіїв заряду у власному напівпровіднику
Позначимо через N (W) - щільність станів, тобто число квантових станів в одиничному інтервалі енергії для одиничного обсягу кристала (ріс.7II). Найбільш простим окремим випадком буде ідеальний (безпрімесний), іншими словами, власний, кристал напівпровідника, що знаходиться при температурі абсолютного нуляТ = 0. У цьому випадку всі можливі рівні у валентній зоні будуть заповнені електронами, в зоні провідності немає електронів і розподіл електронів по енергіях буде строго відповідати закону зміни щільності дозволених рівнів (на рис. 7IIето розподіл заштриховано).
З ростом температури кілька електронів покидає валентну зону і переходить на рівні зони провідності. Виникає питання: наскільки ймовірним є те, що той чи інший рівень валентної зони позбудеться електрона і перетвориться в дірку? Відповідь на це питання дає статистика Фермі-Дірака.
Згідно зі статистикою Фермі-Дірака ймовірність того, що стан з енергією W при заданій температуреТ зайнято електроном, виражається функцією Фермі для електронів
де k - постійна Больцмана, Т - абсолютна температура, WF - енергія, звана рівнем Фермі.
Імовірність виражається в частках одиниці (рис. 7 III). Є тільки дві можливості: рівень зайнятий електроном або рівень не зайнятий електроном. Імовірність того, що рівень валентної зони не зайнятий електроном, є ймовірність знаходження на цьому рівні дірки. Сума ймовірностей цих подій повинна бути дорівнює 1:
При Т = 0 функція Фермі має вигляд сходинки і показує, що всі енергетичні стану перевищують рівень Фермі вільні, а всі енергетичні стану нижче рівня Фермі - зайняті.
З ростом температури функція Фермі перетворюється в плавну (симетричну) криву (рис. 7 III). Імовірність знаходження електрона в зоні провідності стає відмінною від нуля, а у валентній зоні стає відмінною від нуля ймовірність появи вільних рівнів - дірок. Оскільки ця крива симетрична, то ці ймовірності рівні.
Кількість електронів, що займають дозволені рівні в деякій елементарній смузі
.
Отже, кількість електронів, що знаходяться в зоні провідності дорівнює
а число дірок у валентній зоні
Після перетворень можна отримати наступний результат: концентрація електронів ni буде визначатися виразом
,
.
тут
Якщо підставити числові значення універсальних констант, то матимемо:.
Розподілу електронів і дірок по енергіях представлено на рис. 7 IVіз якого видно, що ці розподіли носіїв заряду по енергіях носять експонентний характер. З ростом енергії число електронів в зоні провідності швидко зменшується. Притому = 300 К основна частина електронів провідності має енергію близьку до енергії дна зони провідності, дірки провідності мають енергію близьку до енергії стелі валентної зони.
Рівноважна концентрація носіїв заряду залежить від температури
причому експонента є визначальним множником в цьому виразі. Приблизно можна вважати, що ni буде зростати на (5-7)% при збільшенні температури на 1 градус.
Рівноважна концентрація носіїв заряду залежить від ширини забороненої зони напівпровідника (табл. 3): чим більше ширина забороненої зони, тим менше рівноважна концентрація.
Рівноважна концентрація носіїв при кімнатній температурі
Можна зробити наступні висновки:
Власний напівпровідник -беспрімесний напівпровідник.
Дірка - це розірвана ковалентний зв'язок, ведуча себе як рухливий носій заряду, рівний по модулю заряду електрона або незаповнений рівень валентної зони.
Енергетичний спектр твердого тіла складається з дискретних дозволених зон. Всі істотні процеси в напівпровідникових приладах можна вивчити, розглядаючи тільки дві суміжні зони: зону провідності і валентну.
При Т = 300 К основна частина електронів має енергію близьку до енергії дна ЗП, а дірок - енергію близьку до енергії стелі ВЗ.
Розподілу носіїв заряду по енергіях носять експонентний характер.
Рівноважна концентрація носіїв заряду залежить від ширини забороненої зони напівпровідника: чим більше ширина забороненої зони, тим менше рівноважна концентрація.
Рівноважна концентрація носіїв заряду експоненціально залежить від температури.