4.6 *. Счетності раціональних чисел. Незліченну дійсних чисел
Порівняння множин здійснюється за допомогою поняття взаємно однозначної відповідності.
Визначення 5. Два безлічі, між елементами яких можна встановити взаємно однозначну відповідність (біекція), називаються рівнопотужними.
Зауваження. Неважко переконатися, що якщо безліч X рівнопотужності безлічі Y. а безліч Y рівнопотужності Z. то і безліч X рівнопотужності безлічі Z.
Безліч X називається кінцевим. якщо існує таке натуральне число n (зване числом елементів множестваX), що між елементами безлічі X і елементами безлічі n -1, n> можна встановити взаємно однозначну відповідність.
Очевидно, два кінцевих безлічі рівнопотужні тоді і тільки тоді. коли вони містять однакову кількість елементів. Порожня множина за визначенням вважається кінцевим. Безлічі, які не є кінцевими, називаються нескінченними.
Наведемо приклади рівнопотужних нескінченних множин.
Приклади.
1. Безліч парних натуральних чисел рівнопотужності безлічі всіх натуральних чисел. Дійсно, відповідність n 2n. 1, 2. є біекція безлічі натуральних чисел N і безлічі всіх парних натуральних чисел.
2. Безліч всіх цілих чисел рівнопотужності безлічі натуральних чисел. Справді, відповідність
є біекція безлічі натуральних чисел N і безлічі цілих чисел Z.
3. Будь-які два кінцевих інтервалу (відповідно відрізка) числової прямої рівнопотужні. Якщо задані два інтервали (a, b) і (c, d), то відображення
є біекція інтервалів (a, b) і (c, d) (відповідно відрізків [a, b] і [c, d]).
4. Безліч всіх дійсних чисел R рівнопотужності будь-якому кінцевому інтервалу числової осі. В силу зауваження після визначення 5 і прикладу 3 досить показати, що безліч дійсних чисел рівнопотужності хоча б одному інтервалу, тому досить помітити, що функція встановлює взаємно однозначну відповідність між точками інтервалу (-1,1) і точками числової осі.
Приклади 1, 2 і 4 показують, що в разі нескінченних множин власне підмножина нескінченної кількості може виявитися рівнопотужності для всього.
5. Нехай задано деяку множину X. Будь-яке відображення безлічі натуральних чисел N в безліч X. т. Е. Відображення виду f. NX. називається послідовністю елементів безлічі X. Елемент f (n), nN. позначається через xn і називається n -м членом последовательностіf. NX. число n - його номером. і сам елемент f (n) X - значенням цього члена.
Послідовність f. NX позначається також xn> або xn. n = 1, 2.
Відзначимо, що член послідовності задається його значенням і номером. Якщо n> m. то член послідовності xn називається членом, наступним за членом xm. Безліч членів послідовності рівнопотужності з безліччю натуральних чисел, так як кожному натуральному числу відповідає член послідовності і різними натуральним числам відповідають різні члени послідовності, що відрізняються один від одного принаймні номерами. Таким чином, безліч членів послідовності завжди нескінченно, в той час як безліч значень членів послідовності, т. Е. Безліч значень функції f. NX (інакше кажучи, підмножина безлічі X. на яке за допомогою відображення f відображається безліч N натуральних чисел), може виявитися кінцевим безліччю, зокрема складатися з одного елемента. В останньому випадку, т. Е. Тоді, коли у послідовності все значення її елементів збігаються, вона називається стаціонарною.
Визначення 6. Безліч, рівносильне безлічі натуральних чисел, називається рахунковим.
З розглянутих вище прикладів 1, 2 і 5 слід, що безлічі всіх парних чисел, усіх цілих чисел і всіх членів будь-якій послідовності є рахунковими.
Нехай X - рахункове безліч, т. Е. Існує взаємно однозначне відображення (біекція) безлічі натуральних чисел N на безліч X. Елемент безлічі X. відповідний при цьому відображенні числа n. позначимо, як і в разі послідовності, xn і будемо називати число n його номером. Тому можна сказати, що безліч є рахунковим, якщо його елементи можна перенумерувати натуральними числами. Відмінність визначення рахункового безлічі від послідовності полягає в тому, що в разі послідовності розглядається відображення безлічі натуральних чисел повинно бути біекція: не виключається випадок, коли різним натуральним числам виявиться поставленим у відповідність один і той же елемент. Звідси випливає, що безліч значень членів послідовності або звичайно, або лічильно, т. Е. Як кажуть, не більше ніж лічильно.
Лемма1. Будь-яке безліч містить нескінченне рахункове підмножина.
Нехай X - безліч; тоді воно у всякому разі непусто, т. е. в ньому існує принаймні один елемент, позначимо його через x1. Оскільки безліч X нескінченно, то безліч X \ x1> також непусто, т. Е. Містить принаймні один елемент, позначимо його x2. Продовжуючи цей процес, на n-му кроці отримаємо елемент xn. Оскільки X - безліч, то безліч X \ x1, x2. xn> непусто, т. е. містить принаймні один елемент, позначимо його xn +1 і т. д. Безліч x1, x2. xn.> - шукане рахункове підмножина безлічі X.
Лемма 2. Будь-яке нескінченна підмножина рахункового безлічі лічильно.
Нехай X - рахункове безліч: X = x1, x2. xn.> і YX. Позначимо через y1 елемент з Y. має найменший номер в X. через y2 - елемент безлічі Y. має наступний найближчий номер, і т. Д. Оскільки кожен елемент множини Y є деяким елементом xn безлічі X і, отже, має номер n. то через кінцеве число кроків (не більше ніж n) він отримує певний номер m і в безлічі Y. т. е. буде позначений ym. причому, оскільки безліч Y нескінченно, цей процес може бути продовжений необмежено. Таким чином, всі елементи множини Y виявляться перенумеровані, що і означає счетності цього безлічі.
Теорема. Безліч всіх раціональних чисел лічильно.
Розташуємо всі раціональні числа в таблицю, яка містить нескінченне число рядків і стовпців, в такий спосіб (див. Таблицю):
Тут в n -у рядок поміщені раціональні числа, що записуються нескоротних раціональними дробами зі знаменником n і впорядковані по зростанню їх абсолютних величин, причому безпосередньо за кожним позитивним числом слід йому протилежне. Очевидно, що кожне раціональне число знаходиться на якомусь місці в цій таблиці.
Занумеруем тепер елементи вийшла таблиці згідно з наступною схемою, в якій в кружочках стоять номери відповідних елементів, а стрілки вказують напрямок нумерації. В результаті всі раціональні числа виявляються занумерованих, т. Е. Безліч Q раціональних чисел лічильно.
Виникає природне запитання, чи існують незліченні безлічі, т. Е. Нескінченні множини, які не є рахунковими, a якщо існують, то цікаво побудувати приклад незліченної безлічі.