Семінар на тему: «правильного багатокутника»
А. Зовнішній і внутрішній кут правильного багатокутника.
1.Сколько сторін має правильний багатокутник, кожен з внутрішніх кутів якого дорівнює
2.Сколько сторін має правильний багатокутник, кожен з зовнішніх кутів якого дорівнює
3.Какой правильний багатокутник має центральний кут, рівний? ?
4.Визначите величину кута правильного 12 - кутника, 25 - кутника.
5.Докажіте, що центральний кут правильного багатокутника і кут при вершині в сумі
6. У коло вписаний n - кутник, всі сторони якого рівні. Чи обов'язково він правильний?
Доведіть, що якщо n непарній, то n - кутник правильний.
Б. Сторона правильного багатокутника.
1.Вокруг окружності описаний багатокутник, усі сторони якого рівні. Чи обов'язково він
правильний? Доведіть, що якщо n непарній, то n - кутник правильний.
2. Доведіть, що якщо з'єднати через одну вершини правильного 2n - кутника, то вийде
правильний n - кутник.
3.В коло радіуса R вписано правильні 8-кутник і 12-кутник. Визначте їх боку
4.Окружность радіуса R розділена на 6 рівних частин, і точки поділу з'єднані хордами через
одну. Визначте сторону і площа отриманої шестикутної зірки.
5.Окружность радіуса R розділена на 8 рівних частин, і точки поділу з'єднані хордами через
одну. Визначте сторону і площа отриманої восьмикутної зірки
6. У правильному 8-косинці зі стороною а з'єднані середини чотирьох сторін, взятих через одну
так, що вийшов квадрат. Визначте сторону квадрата.
7. У правильному 12-косинці зі стороною а з'єднані середини шести сторін, взятих через одну
так, що вийшов правильний 6-кутник. Визначте його сторону.
8.Каждая сторона правильного шестикутника продовжена на свою довжину (в напрямку проти
годинникової стрілки). Доведіть, що отримані точки є вершинами правильного
шестикутника. Знайдіть відношення площі отриманого шестикутника до площі даного.
9. На сторонах правильного 6-кутника поза ним побудовано квадрати. Доведіть, що 12 вершин цих
квадратів, не збігаються з вершинами 6-кутника, є вершинами правильного
12-кутника. Знайдіть відношення площ 12-кутника і 6-кутника.
10.В квадрат ABCD вписаний правильний трикутник AKL. де до лежить на CD. L - на ВС. Доведіть,
що. Використовуючи креслення, знайдіть, прийнявши довжину відрізка АК за 1.
В. Радіус вписаного і описаного кола.
1.Докажіте, що хорда, проведена через середину радіуса перпендикулярно йому, дорівнює стороні
правильного вписаного трикутника.
2.Разность між радіусами кіл, описаної близько правильного трикутника і
вписаною в нього, дорівнює m. Визначте сторону трикутника.
3.В коло радіуса R вписано правильний n - кутник. Знайдіть довжину його сторони і площа
4.Около кола радіуса R описаний правильний n - кутник. Знайдіть довжину його сторони і
5. У коло радіуса R вписано квадрат зі стороною a і правильний трикутник. яка сторона
6. У коло, радіус якої дорівнює 4, вписаний правильний трикутник, на стороні якого
побудований квадрат. Визначте радіус кола, описаного навколо квадрата.
7. У коло радіуса R вписано правильний трикутник, в який вписано коло, а в це коло
вписаний квадрат. Визначте сторону цього квадрата.
8.Общая хорда двох пересічних кіл дорівнює а і служить для однієї окружності
стороною правильного вписаного трикутника, а для іншого - стороною вписаного квадрата.
Визначте відстань між центрами кіл.
9.Сторона правильного 6-кутника дорівнює 84. Обчисліть сторону рівновеликого йому правильного
10.Найдіте відношення площ двох правильних n - кутників - вписаного в коло і
описаного біля неї (n = 3, 4, 6).
11. По даній площі Q правильного вписаного 12-кутника визначте площу правильного
6-кутника, вписаного в ту ж коло.
12. По даній площі Q правильного вписаного 8-кутника визначте площу квадрата,
вписаного в ту ж коло.
Г. Завдання на побудову.
1.Можно чи циркулем і лінійкою побудувати правильний n - кутник, якщо n = 7, 9, 15, 360?
2.Впішіте в дану окружність правильний n - кутник (n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12).
3.Срезая кути, перетворите даний правильний трикутник зі стороною а в правильний 6-кутник
і визначте його сторону.
4.Срезая кути, перетворите даний квадрат зі стороною а в правильний 8-кутник і визначте
його сторону. (Порада: проведіть дуги з центрами в вершинах квадрата і радіусами, рівними
половині діагоналі квадрата, з'єднайте точки, отримані на сторонах квадрата). Знайдіть
площа отриманого 8-кутника.
5.Дана окружність, зазначений її центр. Тільки за допомогою циркуля впишіть в це коло квадрат
(Можна скористатися тим, що трикутник зі сторонами 1,. - прямокутний).
6.Постройте правильний 5-кутник по його діагоналі.
7. У окружності з центром Про проводять діаметр АВ і перпендикулярний до нього діаметр CD. будують
точку Е - середину відрізка ОС. Радіусом ЄВ проводять окружність з центром Е. перетинає
АЕ в точці М. Радіусом АМ будують коло з центром А. яка перетинає вихідну
окружність у точці N. Обчисліть довжину AN і з'ясуйте, стороною якого правильного
вписаного n - кутника вона є.
Д. Докази і обчислення.
1. Доведіть, що сума квадратів відстаней від точки окружності до вершин правильного
вписаного в це коло трикутника є величина постійна, яка не залежить від положення
точки на колі.
2. У квадрат ABCD зі стороною а вписане коло, яка стосується боку CD в точці Е.
Знайдіть хорду, що сполучає точки, в яких коло перетинається з прямою АЕ.
3.Діагоналі АС і BD правильного п'ятикутника ABCDE перетинаються в точці М. Доведіть,
4.У правильному трикутнику АВС зі стороною а проведена висота ВК. В трикутники АВК і
ТСК вписано по колу і до них проведена спільна зовнішня дотична, відмінна від сторони
АС. Знайдіть площу трикутника, який відсікається цієї дотичної від трикутника АВС.
5.Дан квадрат зі стороною а. Знайдіть площу правильного трикутника, одна вершина якого
розташована в середині боку квадрата, а дві інших - на його діагоналях.