1.5.1. поділ поступальних
і обертальних рухів твердого тіла
При поступальному русі всі точки тіла отримують за один і той же проміжок часу рівні за величиною і напрямком переміщення, тому швидкості і прискорення всіх точок в кожен момент часу виявляються однаковими. Тому досить визначити рух однієї з точок тіла (наприклад, його центру інерції) для того, щоб повністю охарактеризувати його рух.
При обертальному русі всі точки тіла рухаються по колах, центри яких лежать на одній і тій же прямій, званої віссю обертання. Для опису обертального руху потрібно задати положення в просторі осі обертання і кутову швидкість тіла в кожен момент часу.
Будь-який рух твердого тіла може бути представлено як суперпозиція двох вищевказаних основних видів руху. Покажемо це на прикладі плоского руху, при якому всі точки тіла переміщуються в паралельних площинах. Таким чином, наприклад, відбувається кочення циліндра по площині. Елементарне переміщення будь-якої точки тіла можна розкласти на два - "поступальний" і "обертальний":
причому для всіх точок тіла одне і те ж. Розділивши на відповідний проміжок часу dt, отримаємо швидкість точки:
де - однакова для всіх точок тіла швидкість поступального руху і - різна для різних точок тіла швидкість обертального руху.
Лінійна швидкість точки з радіус-вектором, обумовлена обертанням твердого тіла, дорівнює:
Отже, швидкість цієї точки при складному русі тіла має значення:
1.5.2. Рух центру інерції
(Центру мас) твердого тіла
Розбивши тіло на елементарні маси δmi. можна уявити його як систему МТ, взаємне розташування яких залишається незмінним. Будь-яка з цих елементарних мас може перебувати під впливом внутрішніх і зовнішніх сил. Напишемо для кожної елементарної маси рівняння другого закону Ньютона:
де - результуючі всіх внутрішніх і всіх зовнішніх сил, що діють на дану елементарну масу. Підсумовуючи, для всіх елементарних мас маємо:
Отже, центр інерції твердого тіла рухається так, як рухалася б МТ з масою, що дорівнює масі тіла, під дією всіх прикладених до тіла сил.
1.5.3. момент сили
Розглянемо схему установки на Рис. 1.5.1.
Мал. 1.5.1. Схема установки для дослідження
одно-прискореного обертового руху
Під дією вантажу Р хрестовина буде обертатися зі зростаючою кутовий швидкістю, і обертання дорівнюватиме-прискореним. Варіюючи величину вантажу Р, радіус шківа l, масу вантажів m і їх відстань R від осі обертання, можна прийти до висновку, що кутове прискорення # 946 ;:
- прямо пропорційно натягу нитки f і радіусу шківа l;
- обернено пропорційно масі вантажів m і квадрату їх відстані R від осі обертання.
Отже, прискорення обертального руху залежить не тільки від величини діючої на тіло сили, а й від відстані l від осі обертання до лінії, уздовж якої діє сила. Твір fl дає величину так званого моменту сили відносно осі обертання.
З цього досвіду слід також, що на величину кутового прискорення впливає не тільки маса тіла, що обертається, а й розподіл маси щодо осі обертання. Величина, яка це враховує, називається моментом інерції тіла щодо осі обертання.
Моментом сили відносно деякої точки О називається величина, що дорівнює векторному добутку:
де - радіус-вектор, проведений з точки О в точку прикладання сили (Рис. 1.5.2).
Мал. 1.5.2. До визначення моменту сили
Вектор, за визначенням, перпендикулярний площині векторів і і спрямований від нас. Це - псевдовектор. Модуль вектора дорівнює:
де # 945; - кут між напрямками векторів і. а l = r sin # 945; - довжина перпендикуляра, опущеного з точки О на пряму, вздовж якої діє сила. Ця довжина називається плечем сили відносно точки О.
Якщо можна уявити силу у вигляді суми сил, що мають спільну точку прикладання, то формулу (1.5.10) можна записати так:
Парою сил називаються дві рівні за величиною і протилежно спрямовані сили, що не діють уздовж однієї і тієї ж прямої (Рис. 1.5.3). Відстань l між прямими, уздовж яких діють сили, називається плечем пари сил.
Мал. 1.5.3. Момент пари сил
Покажемо, що момент пари сил щодо будь-якої точки буде один і той же. Нехай точка лежить в площині, в якій діють сили, і виконується. Момент сили дорівнює fl1 і спрямований до спостерігача, момент сили дорівнює fl2 і спрямований від спостерігача. Результуючий момент сили спрямований від спостерігача і дорівнює:
Отриманий вираз не залежить від положення точки О на площині, в якій лежить пара сил.
Сумарний момент внутрішніх сил Сили, з якими взаємодіють один з одним дві будь-які елементарні маси, лежать на одній і тій же прямій (Рис. 1.5.4).
Мал. 1.5.4. Момент внутрішніх сил
Їх моменти щодо довільної точки Про рівні за величиною і протилежні за напрямком. Тому моменти внутрішніх сил попарно врівноважують один одного, і сума моментів всіх внутрішніх сил для будь-якої системи МТ, зокрема, для твердого тіла, завжди дорівнює нулю.
1.5.4. Момент імпульсу матеріальної точки.
Закон збереження моменту імпульсу
Аналогічно моменту сили введемо момент імпульсу МТ щодо деякої точки О:
де - радіус-вектор, проведений з точки О в точку простору, в якій знаходиться МТ (Рис. 1.5.5).
Мал. 1.5.5. До визначення моменту імпульсу
Ввівши плече l = rsin # 945 ;, можна отримати модуль вектора моменту імпульсу у вигляді:
Припустимо, що тверде тіло може змінювати свою конфігурацію в результаті перерозподілу мас. Нехай в результаті відбувається зміна моменту інерції від значення I1 до I2. Якщо такий перерозподіл здійснюється при відсутності моментів зовнішніх сил, то відповідно до закону збереження моменту імпульсу має виконуватися рівність:
де # 969; 1 - вихідне, а # 969; 2 - кінцеве значення кутової швидкості тіла. Отже, зміна моменту інерції тягне за собою відповідне зміна кутової швидкості тіла. Цим пояснюється таке явище: людина, що стоїть на крутиться лаві, розводячи руки в сторони, починає обертатися повільніше, а, притискаючи руки до тулуба, буде обертатися швидше.
1.5.6. Момент інерції. теорема Штайнера
З визначення моменту інерції:
випливає, що момент інерції - величина адитивна. Це означає, що момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції його частин. Кожне тіло, незалежно від того, обертається воно чи спочиває, має певний моментом інерції.
Розподіл маси в межах тіла можна охарактеризувати за допомогою фізичної величини, званої щільністю. Якщо тіло однорідне, то його щільність може бути обчислена так:
де m - маса, V - об'єм тіла. Для тіла з нерівномірно розподіленої масою співвідношення (1.5.26) дає середню щільність. Щільність в даній точці визначається в цьому випадку так:
Зменшення обсягу в (1.5.27) слід проводити доти, поки не буде отримано фізично нескінченно малий обсяг, який досить малий, щоб в його межах макроскопічні властивості речовини можна було вважати однаковими, і досить великий, щоб не могла проявитися дискретність (атомарний будова) речовини.
Згідно (1.5.27), елементарна маса тіла може бути обчислена так: