Істотне просування в теорії певного інтеграла належить Г. Дарбу. який ввів в розгляд поряд з інтегральною сумою Рімана верхню і нижню суми (згодом названі сумами Дарбу).
Отже, нехай функція - обмежена на і існує розбиття цього відрізка. Це означає, що - обмежена на будь-якому. Звідси, по другий теоремі Вейtрштрасса. .
Отже, нехай ми вибрали якусь конкретну розбиття відрізка на n частин. Тепер виберемо на кожній з цих частин проміжні точки так, щоб сума площ одержані прямокутників була мінімальною. (Див. Задачу про обчислення площі криволінійної трапеції)
Побудуємо інтегральну суму в такий спосіб: на кожному інтервалі розбиття T точку будемо вибирати так, щоб виходив прямокутник мінімальної площі, тобто щоб висота була найменшою. Найменшу висоту нам якраз і дасть операція: Інтегральна сума. побудована на таких прямокутниках, очевидно, є найменша зі всіляких сум, одержуваних на даному розбитті. Ця сума називається нижньою сумою Дарбу.
Точно так само можна побудувати і найбільшу для даного розбиття суму: на кожному з інтервалів розбиття T ми вибираємо точку так, щоб значення було максимальним:. Цим значенням відповідає інтегральна сума. звана верхньої сумою Дарбу. Тепер дамо більш суворе визначення.
визначення
- верхня сума Дарбу
- нижня сума Дарбу
Суми Дарбу залежать від розбиття T і не залежать від вибору проміжних точок
Назвемо розбиття продовженням (подрібненням) розбиття, якщо кожна точка розбиття є точкою розбиття. Інакше кажучи, розбиття або збігається з розбиттям, або отримано з додаванням принаймні однієї нової точки.
Властивість.
Якщо розбиття - продовження розбиття, то (*), тобто при дробленні відрізка нижня сума Дарбу не зменшується, а верхня не збільшується.
Для доказу досить розглянути випадок, коли розбиття виходить з додаванням тільки однієї точки. Нехай і - відрізки. на які точка розбиває відрізок, а й - довжини цих відрізків.
Позначимо. Очевидно, що . У сумах і рівні всі відповідні складові, за винятком тих, які пов'язані з відрізком. Тому:
Аналогічно доводиться нерівність. Звідси, використовуючи нерівність (доведене у властивості 1), отримуємо ланцюжок нерівностей (*).