Загальний закон поздовжніх переміщень тонкостінного стержня, що має в поперечному перерізі відкритий профіль, записується таким чином [1]:
Тут першими трьома членами виражений закон плоских перетинів, СОГ-ласно якому поперечним перерізом плоскі до деформації, залишаються плоскими і після деформації. Поздовжні переміщення, що визначаються цими членами, виникають в результаті складної деформації розтягування в напрямку осі і вигину в двох площинах: і. Функція визначає осьову деформацію, поперечні перерізи при цій деформації отримують тільки поступальні зміщення вздовж котра утворює стрижня. Функція і. являють собою прогини осі стержня в площинах. . характеризують деформацію вигину. При цій деформації поперечним перерізом залишаючись плоскими, повертаються щодо осей. .
Четвертим членом формули (5) визначається та частина переміщень, яка не слід закону плоских перетинів і виникає в результаті крутіння. Це відхилення від закону плоских перетинів називається секториальной депланація перетину. Величина. представляє собою відносний кут крутіння, служить мірою депланації стержня при крученні. Характер депланації поперечного перерізу зі своєї площині задається функцією. яка називається секториальной площею.
У класичній теорії вигину балок, заснованої на законі плоских перетинів (три перших члена вирази (5)) за вісь стрижня приймається лінія центрів ваги поперечних перерізів стрижня. Сам стрижень ототожнюється з цією віссю. Це основне поняття будівельної механіки стрижневих систем, що випливає із закону плоских перетинів і має підстави в принципі Сен-Венана.
Для тонкостінного стержня суттєво значення має також і лінія центрів ваги. Лінією центрів вигину називається пряма, паралельна осі стержня і володіє наступною властивістю: якщо зовнішня поперечне навантаження, включаючи реакції, проходить через цю пряму, то стрижень буде перебувати в умовах центрального поперечного вигину. Тобто стрижень буде перебувати в умови закону плоских перетинів і його напружено деформований стан описується першими трьома членами виразу (5).
Якщо поперечне навантаження, включаючи опорні реакції, хоча б на одній ділянці стержня не проходить через лінію центрів вигину, то стрижень буде відчувати деформацію кручення. У його перетинах виникнуть напруги згинального крутіння, що визначаються законом секторіальних площ, якому відповідав би четвертий член виразу (5).
Ця лінія збігається з віссю центрів ваги перерізу для стрижнів, що мають в поперечному перерізі дві осі симетрії. В інших випадках лінія центрів вигину не збігається з віссю стержня.
Таким чином, якщо вся зовнішня навантаження, включаючи реакції опор, проходить через центри вигину поперечних перерізів стрижня, то він розраховується за звичайними формулами опору матеріалів. Якщо немає, то в перетинах стрижня з'являються додаткові напруги, а сам розрахунок різко ускладнюється. Однак зрозуміла практична значущість інформації про становище центру вигину перетину.
Переходимо до викладу методики знаходження координат центру вигину.
Секторіально площею називається геометрична характеристика поперечного перерізу, що визначається виразом
де - довжина елемента контуру від деякої початкової точки відліку на ньому до точки, в якій визначається значення секториальной площі: - відстань від полюса до дотичній до елементарного відрізку контуру. Порядок вибору полюса і початкової точки відліку буде розглянуто нижче. Побудова епюри секториальной площі виконують рухаючись по дузі контуру перетину, відкладаючи величину по нормалі до контуру. Одиниця виміру - .
Вид епюри секторіальних площ залежить від положення полюса точки відліку. Знак епюри вибирається в такий спосіб: при обході контуру щодо полюса проти годинникової стрілки береться знак. при обході контура за годинниковою стрілкою - знак.
Для визначення координат центру вигину будується допоміжна епюра. для якої полюс намагаються вибрати так, щоб епюра на можливо більшій частині контуру була нульовою. Це може бути досягнуто розташуванням полюса в кутових точках перетину або в точках розгалуження контуру. Вибір початкової точки переслідує ті ж цілі.
На рис. 14, 15 зображені епюри секторільной площі при різному виборі початкової точки.
З цих епюр видно, що в другому випадку положення початкової точки відліку вибрано невдачі. Як епюри тому беремо епюру, зображену на рис.14. Надалі при побудові епюр секторіальних площ будемо мати на увазі наступне:
1. На прямолінійних ділянках профільної лінії секторіальні площі завжди представляються прямолінійними в загальному випадку трапецеїдальними епюрами. Тому значення секториальной площі обчислюється для початкової та кінцевої точки прямолінійного ділянки профілю.
2. Якщо кінець радіуса-вектора ковзає по прямій, на якій знаходиться полюс, то секториальная площа залишається зміненою.
3. Початкову точку слід брати в будь-якій точці прямолінійного відрізка контуру, що містить полю.
4. У разі разветвляющегося контуру побудова епюри секторіальних площ ведеться з заходом в кожну гілку і поверненням до точки розгалуження.
Після побудови епюри координати центру вигину визначаються виразами [1], [3]
де. - координати полюса. . називаються секторільнимі відцентровими моментами інерції і визначаються наступними виразами:
Використовуючи правило Верещагіна, обчислюємо величини:
Обчислюємо величини і:
Відомо, що центр вигину при наявності осі симетрії завжди лежить на ній, тому ступінь відмінності величини від нуля свідчить про величину похибки, допущеної при проведенні побудов і обчислень. Будемо вважати допустимим, якщо величина знаходиться в межах
Знайдене значення координати задовольняє умові (9). Виконання цієї умови означає, що епюра побудовано вірно, а величини визначено правильно.
Відзначимо, що обрана величина обмеження (9) є "м'яким" обмеженням. Перевищення свідчить про неприпустимі погрішності при обчисленнях або при побудові епюр. Наприклад, округливши значення. отримаємо
Поклавши. . . отримаємо і.
Перевірка правильності знаходження координати здійснюється наступним чином. На початку дамо деякі визначення.
Початкова точка відліку, для якої при розташуванні полюса в центрі вигину отримуємо. називається головною нульовий секториальной точкою або головною початковою точкою відліку. Сама величина називається секторіальних статичним моментом.
Для визначення положення цієї точки є спеціальна методика, проте в разі перетину, що має вісь симетрії, відомо, що цією точкою є найближча до центру вигину точка перетину осі симетрії з контуром перерізу.
На рис.16 показано положення головної нульовий секториальной точки. Побудуємо епюру для полюса з обчисленими координатами. і головною початковою точкою відліку - рис.16. Вважаючи, що точка є довільно обраним полюсом, обчислюємо величину. Ця величина дає відрізок, який треба відкласти від в напрямку осі. щоб отримати центр вигину.
Будемо вважати, що при виконанні умови
координата центру вигину визначена вірно. Одночасно тим самим перевіряється правильність побудови епюри.
Для розглянутого прикладу отримуємо:
Таким чином, перевірка виконана.
Для подальших обчислень потрібно величина
Яка називається секторіальних моментом інерції. При нашому виборі полюса і початкової точки відліку з чотирьох геометричних величин, що характеризують опір стрижня викривлень (депланація) його поперечного перерізу в процесі стиснутого крутіння, три величини звертатися в нуль:
Таким чином, секторіальний момент інерції залишається єдиною секториальной характеристикою, що характеризує опірність тонкостінного стержня викривленнями поперечних перетину з їх площині. Визначаємо величину:
Ми вже наголошували, що для перетинів, що мають вісь симетрії, положення головної нульовий секториальной точки заздалегідь відомо. Відомо також, що центр вигину знаходиться на осі симетрії.
Однак при виконанні даної розрахунково-проектувальної роботи використовувати ці відомості при виборі полюса, тобто розташовувати його на осі симетрії. Підкреслимо, що однією з цілей виконання роботи є усвідомлення студентом факту розташування центру вигину на осі симетрії і методики його знаходження в загальному випадку для несиметричного поперечного перерізу тонкостінного стержня відкритого профілю.
Для кращого засвоєння даної методики знайдемо і побудуємо епюру для перетину, зображеного на рис. 13.
Одне з можливих положень полюса Р з урахуванням того, що на осі симетрії брати його при виконанні роботи не рекомендується, показано на рис. 17. За початкову точку вибирається будь-яка точка відрізка або. В цьому випадку для обраного полюса Р вид епюри виходить найбільш простим.
Використовуючи правило Верещагіна, отримаємо:
Нагадаємо, що епюри і беруться на рис.13. Положення центру вигину. головною нульовий секториальной точки і епюра наведені на рис.18.