Упорядкована сукупність n дійсних чисел (c1, c2. Cn) називається рішенням системи (1), якщо в результаті підстановки цих чисел замість відповідних змінних x1, x2. xn кожне рівняння системи звернеться в арифметичне тотожність; іншими словами, якщо існує вектор C = (c1, c2. cn) T такий, що AC = B.
Слу називається спільної, або можливо розв'язати, якщо вона має, принаймні, одне рішення. Система називається несумісною, або нерозв'язною. якщо вона не має рішень.
матриця
,
утворена шляхом приписування справа до матриці A шпальти вільних членів, називається розширеною матрицею системи.
Питання про спільності системи (1) вирішується наступній теоремою.
Теорема Кронекера-Капеллі
Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці.
Система має єдине рішення. якщо ранг дорівнює числу невідомих, і безліч рішень, якщо ранг менше числа невідомих.
Вирішити систему - це значить з'ясувати, сумісна вона або несумісна. Якщо система сумісна, знайти її спільне рішення.
Приклад. Дослідити систему лінійних рівнянь
Рішення. Складемо розширену матрицю системи і за допомогою елементарних перетворень обчислимо одночасно ранги обох матриць.
Далі помножимо другий рядок на -2 і складемо з третьої, а потім складемо третій рядок з останньої. маємо
.
Ранг матриці системи = 3, так як матриця має три ненульових рядки,
а ранг розширеної матриці = 4.
Тоді згідно з теоремою Кронекера-Капеллі система не має рішень.
Для вирішення довільної системи лінійних рівнянь потрібно вміти вирішувати системи, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих, - так звані системи крамеровского типу:
a11 x1 + a12 x2 +. + A1n xn = b1,
a21 x1 + a22 x2 +. + A2n xn = b2, (3)
.
an1 x1 + an1 x2 +. + Ann xn = bn.
Системи (3) вирішуються одним із таких способів:
1) методом Гаусса, або методом виключення невідомих;
2) за формулами Крамера;
3) матричним методом.
матричний метод
Якщо матриця А системи лінійних рівнянь невироджених, тобто det A = 0, то матриця А має зворотну, і рішення системи (3) збігається з вектором. Інакше кажучи, дана система має єдине рішення. Відшукання рішення системи за формулою X = C, C = A-1B називають матричним способом вирішення системи, або рішенням по методу оберненої матриці.
Завдання 1: Вирішити систему рівнянь матричним способом в Excel
- Спочатку треба записати систему в матричному вигляді і ввести її на лист Excel:
- Потім треба за допомогою Excel знайти зворотну матрицю для матриці А.
- Далі отриману матрицю потрібно помножити на матрицю В.
- В результаті отримаємо відповідь:
Завдання 2: Самостійно вирішити матричним способом систему рівнянь
Відповідь для самоперевірки:
Укладач: Салій Н.А.