Вирішивши останнє рівняння щодо
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-1610b274.png)
![Власні значення і власні вектори (власні вектори відповідні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-c19e67f3.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-af56cc93.png)
Розглянемо кілька прикладів, в кожному з яких будемо виконувати послідовність дій рішення задачі про відшукання власних значень і власних векторів матриці.
Знайти власні значення і власні вектори матриці
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-f4a922a5.png)
Матриця має розмірність 2
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним значенням) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-c5df6ad6.png)
![Власні значення і власні вектори (власні вектори відповідні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-ea74dc4d.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним значенням) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-bec67702.png)
Складемо рівняння для відшукання власних векторів в матричному вигляді:
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним значенням) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-ba774cf0.png)
![Власні значення і власні вектори (власні вектори відповідні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-4c436507.png)
![Власні значення і власні вектори (власні вектори відповідні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-a5a4bc9d.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-da9e48ef.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним значенням) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-9852f104.png)
3. Перепишемо матричне рівняння у вигляді системи рівнянь:
![Власні значення і власні вектори (власні вектори відповідні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-b2c9cddd.png)
Однорідна система має ненульові рішення тоді і тільки тоді, коли визначник її головною матриці дорівнює 0. Отримуємо характеристичне рівняння системи і вирішуємо його:
.
Власні значення матриці
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним значенням) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-3eab5f56.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-db940f8e.png)
![Власні значення і власні вектори (значення) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-eae4fe2a.png)
Знайдемо власні вектори для кожного власного значення:
![Власні значення і власні вектори (значення) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-6f8abcec.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-c3478a0e.png)
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-f25a558d.png)
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-9cff23e3.png)
нехай
![Власні значення і власні вектори (значення) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-0d0c53da.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-b129b3fa.png)
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-98cc464b.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-866673e2.png)
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-80916fd8.png)
![Власні значення і власні вектори (значення) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-cd2a7257.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-a174322e.png)
нехай
![Власні значення і власні вектори (значення) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-de4ce1e4.png)
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-8555f5a8.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним значенням) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-5f5132b2.png)
Приклад 2. Знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора. заданого в деякому базисі матріцейА =
![Власні значення і власні вектори (значення) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-2065a3e6.png)
Складемо і вирішимо характеристичне рівняння
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-d78996d4.png)
Тоді характеристичне рівняння приймає вид:
,
,
- власні значення лінійного оператора.
Знайдемо власні вектори, відповідні власним значенням
![Власні значення і власні вектори (власні вектори відповідні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-fca96762.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-7113ee61.png)
Вважаючи в останній рівності
![Власні значення і власні вектори (власні вектори відповідні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-33a21196.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-94b9f8dc.png)
Звідки власні вектори, відповідні власним значенням
![Власні значення і власні вектори (вектори) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-b00c5778.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-c9dcd674.png)
Знайдемо власні вектори, відповідні власним значенням
![Власні значення і власні вектори (вектори) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-6e3f1346.png)
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-444e4824.png)
Вважаючи в останній рівності
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-aea51a50.png)
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-8682ef6a.png)
Звідки власні вектори, відповідні власним значенням
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним значенням) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-14d3c13e.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-b872595a.png)
Відповідь. своїм значенням
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-f2c2e686.png)
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-a6182856.png)
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-953f1b52.png)
Приклад 3. Знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора. заданого в деякому базисі матріцейА =
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-397ed680.png)
Знайдемо власні значення лінійного оператора. Для цього складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:
![Власні значення і власні вектори (значення) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-41293fbd.png)
,
,
,
,
, ,
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-a852e315.png)
Знайдемо власні вектори, відповідні власним значенням
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним значенням) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-2f3b1fe0.png)
![Власні значення і власні вектори (власні вектори відповідні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-f3a9796f.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-f4666483.png)
![Власні значення і власні вектори (значення) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-8215a65a.png)
Оскільки ранг матриці системи (r = 2) менше кількості невідомих, то система має безліч рішень. Записуючи перетворену систему і вирішуючи її, отримаємо,
![Власні значення і власні вектори (значення) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-7538241b.png)
Таким чином, власні вектори, відповідні власним значенням
![Власні значення і власні вектори (власні вектори відповідні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-e482468d.png)
![Власні значення і власні вектори (значення) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-98eb00d3.png)
Знайдемо власні вектори, відповідні власним значенням
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-a4874163.png)
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-1df188a1.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним значенням) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-8ef582f1.png)
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-c29951ff.png)
звідки, система приймає вигляд
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-16c037a2.png)
Таким чином, власні вектори, відповідні власним значенням
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-47d889ca.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-5992f7bf.png)
Знайдемо власні вектори, відповідні власним значенням
![Власні значення і власні вектори (значення) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-c6d710f5.png)
![Власні значення і власні вектори (значення) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-56214af3.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-9523d54c.png)
,
звідки, система приймає вигляд
![Власні значення і власні вектори (власні) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-33880ac7.png)
Таким чином, власні вектори, відповідні власним значенням
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-00cd1758.png)
![Власні значення і власні вектори (вектори відповідні власним значенням) Власні значення і власні вектори](https://images-on-off.com/images/164/sobstvennieznacheniyaisobstvennievektori-93a1691f.png)