7. На шахівниці стоять 10 шахових фігур (слони і човни), що не б'ють один одного. Яку найменшу кількість слонів може бути серед них?
Рішення. Якщо тур хоча б 7, то вони б'ють вже 63 поля (7 вертикалей і 7 горизонталей), і слони не поміщаються. Якщо тур 6, а слонів 4, можна, наприклад, поставити слонів на поля А2, А8, Н2, Н8, а тур - на поля B6, C5, D7, E3, F1, G4, і фігури не будуть бити один одного.
шахова розфарбування
8. За шахівниці повзає равлик. За хвилину вона переповзає з однієї клітини на сусідню з нею по боці клітку. Через деякий час равлик приползла знову в ту клітку, де була спочатку. Доведіть, що це сталося через парне число хвилин.
Рішення. Кожну хвилину змінюється колір клітини, на якій сидить равлик. Якщо равлик повернулася у вихідну клітку, то колір клітини змінився парне число раз.
9. На кожній з клітин дошки розміром 9 × 9 сидів жук. Опівдні кожен жук переповз на сусідню по стороні клітину дошки. Доведіть, що тепер принаймні одна клітина на дошці буде вільною.
Рішення. Пофарбуємо дошку в шаховому порядку так, щоб було 40 чорних полів і 41 біле. Опівдні жуки, які сиділи на чорних клітинах, переповзуть на білі клітини, і навпаки. Оскільки білих клітин 41, а чорних жуків 40, одна біла клітка залишиться вільною.
а) Наприклад, якщо кінь два рази сходить туди-сюди.
б, в) При кожному ході коня змінюється колір клітини, на якій він стоїть. Тому через непарне число ходів кінь виявиться на клітці іншого кольору, ніж первісна. Це, зокрема, означає, що він не зможе повернутися на вихідну клітину через непарне число ходів.
11. Тридцять п'ять хуліганів вийшли на демонстрацію з кульками і вишикувалися в п'ять колон по сім чоловік. За командою кожен проткнув голкою кульку свого сусіда (спереду, ззаду чи збоку). а) Яке найменше число цілих кульок могло при цьому залишитися? б) Чи могло вціліти рівно 23 кульки?
а) Пофарбуємо кульки і самих хуліганів в шаховому порядку. Кожен чорний хуліган повинен лопнути один білий кульку, і навпаки. Якщо, скажімо, білих хуліганів 17, а чорних 18, то чорних кульок більше, ніж білих хуліганів. Тому один чорний кульку завжди буде жити. Ну а якщо все хулігани, крім одного, розіб'ються на пари і в парах будуть лопати кульки один одному, як раз вціліє рівно одну кульку.
б) Так буде, якщо кілька хуліганів будуть лопати один і той же кулька. Введемо для хуліганів і їх кульок позначення, як на шахівниці: вертикалі позначимо латинськими буквами від А до Е, а горизонталі - цифрами від 1 до 7. Нехай, наприклад, хулігани лопнули чорні кульки В2, В4, В6, D2, D4, D6 і білі кульки A2, B5, B7, D1, D3, E6. Тоді якраз вціліє 35 - 12 = 23 кульки.