Зображення предмета, що знаходиться в просторі, побудоване на площині за певними законами, називається проекцією його на цю площину.
Центральне проектування
Проекцією точки А називають (∙) А 'перетину проецирующей прямої з площиною α (рис. 1).
Проектуванням називають процес побудови зображень за допомогою проектують прямих
А '= АА'∩α, де АА' - проектує промінь
Проекцією точки на площину називають точку перетину проецирующего променя з площиною проекцій.
Візьмемо в просторі який-небудь предмет (в нашому прикладі відрізок АВ) і спроеціруем його з (•) S на площину α (рис.2).
Отримаємо проекцію відрізка АВ на площину α (А'В '). Якщо проектують промені проходять через одну точку S. то таке проектування називають центральним, Ѕ - центр проектування. Таке проектування застосовується в живописі, архітектурі, фотографії.
паралельне проектування
Перенесемо центр проектування точку S в нескінченність, проектують промені будуть паралельні між собою (рис.3).
S - напрям проектування. Таке проектування буде називатися паралельним. Проектують промені паралельні.
В інженерній практиці застосовується в основному паралельне проектування
Залежно від напрямку проектують променів по відношенню до площини проекцій паралельні проекції можуть бути прямокутні (рис.4);
і косокутні (рис.5).
В подальшому курсі ми будемо вивчати тільки прямокутне (ортогональное) проектування.
Основні властивості паралельного проектування
При паралельному проектуванні порушуються метричні характеристики геометричних фігур (відбувається спотворення).
Відзначимо основні властивості паралельного проектування:
1. Проекція точки є точка.
2. Проекція прямої на площину є пряма.
3. Якщо в просторі точка належить лінії, то проекція цієї точки належить проекції лінії.
4. Проекції взаємно паралельних прямих взаємно паралельні, а відношення відрізків таких прямих дорівнює відношенню їх паралельних проекцій.
5. Точка перетину проекцій пересічних прямих є проекцією точки перетину цих прямих в просторі.
6. Пряма, плоска фігура, паралельна площині проекцій, проектується на цю площину в натуральну величину.
Метод ортогональних проекцій (метод Монжа).
π1 - горизонтальна площина проекцій
π2 - фронтальна площина проекцій
π3 - профільна площина проекцій
У перетині площин отримуємо осі координат х, у, z. Точку перетину координат називають початком координат Про або центром проекцій.
З (•) А опускаємо ┴ на 3 площини і отримуємо проекції точки на цих площинах:
А '- горизонтальна проекція (•) А
А "- фронтальна проекція (•) А
A " '- профільна проекція (•) А
Відстані від (•) А до площин проекцій називають координатами точки. Масштаб по осях Ох і Оz - 1: 1, по осі Оу - 1: 2. Для визначення положення точки в просторі необхідні її три прямокутні координати або дві її ортогональні проекції (рис. 6).
Сумісний площину π1 з π2 і π3 сπ2 шляхом обертання навколо осей Ох і Оz, отримаємо плоске зображення точки - епюр. Таке плоске зображення точки показано на рис.7.
При побудові (•) на епюрі горизонтальна проекція А 'характеризується координатами х, у;
фронтальна А "- х, z;
профільна A " '- у, z.
На епюрі горизонтальна і фронтальна проекція (•) знаходяться на одному ┴ до осі Ox (А'А "┴Оx). Фронтальна і профільна проекції точки знаходяться на одному ┴ до осі Oz (А" A " '┴Oz). Т.к . це плоский креслення, спотворення по осях Ox, Oy, Oz немає. Геометрична зв'язок між трьома проекціями точки дозволяє знаходити третю проекцію за двома заданими графічно - за допомогою ліній проекційної зв'язку, а також шляхом вимірювання координат.
Приклад 1. За двома заданими проекціями точок А, В, С побудувати третю. Побудувати наочні зображення точок (рис.8).
1. На перетині лінії зв'язку A'A "з віссю х відзначимо допоміжну точку Ах (рис. 9).
2. Проведемо лінію зв'язку з горизонтальної проекції точки А '
3. Перенесемо допоміжну точку Ау на вісь уπ3. Для цього поставимо циркуль в початок координат (точка О) радіусом ОАЗ і проведемо дугу до осі уπ3.
4. З фронтальної проекції точки A "проведемо лінію зв'язку
5. На перетині ліній зв'язку, проведених з точки Ау і АZ перпендикулярно осях у і z. визначимо профільну проекцію точки А '' '.
6. Для знаходження профільної проекції В '' 'проведемо лінії зв'язку
7. Для побудови відсутньої проекції С '' 'розмірковуємо наступним чином: З' (10, 0); З '' (10, 0), де z = 0 і у = 0, отже, С '' '(у, z) => З' '' (0, 0) знаходиться на початку координат, в якій точці О.
Побудуємо наочні зображення точок А. В. С (рис.10).
Ось у направляємо під кутом 45º до осі х. При побудові наочного зображення приймаємо коефіцієнт спотворення по осях кх = Кz = 1, кy = 0,5.
1. Відзначимо допоміжні точки Ах. Ау, АZ. вимірюючи відстані на епюрі Монжа.
3. Будуємо наочне зображення точки А.
(А '' А) || у (А '' 'А) | | x. на перетині цих ліній отримаємо точку А.
Якщо точка лежить в просторі, то на епюрі жодна з її проекцій з самою точкою не збігається. Якщо одна з координат дорівнює нулю - точка лежить на площині і збігається зі своєю проекцією на цій площині, при рівності нулю двох координат - точка лежить на осі. У разі рівного розподілу всіх трьох координат 0 - точка лежить на початку координат.