Для того, щоб знайти базис системи векторів A1, A2. An необхідно:
§ Скласти відповідну системі векторів однорідну систему рівнянь A1 x1 + A2 x2 +. + An xn = # 920;
§ Привести цю систему
--------------------------------------------------------------------------------------------
Ранг системи векторів - це кількість лінійно - незалежних векторів в ній
Як знаходити:
Знайдемо. домножимо спершу 1-й рядок на 20, 2-ю на 15, 3-ю на 12:
60, 40, -80
60, 15, -30
60, 24, - 36
Віднімаємо з 2-й і 3-й рядки першу, отримуємо:
60, 40, -80
0, -25, 50
0, -16, -6
Скорочуємо 1-й рядок на 20, 2-ю на 25, 3-ю на 2
3, 2, -4
0, -1, 2
0, -8, -3.
З 3-го рядка віднімаємо 8 друге рядків, отримуємо:
3, 2, -4
0, -1, 2
0, 0, -19.
Тобто, все рядки в трикутної матриці - ненульові, це означає, що вектори - лінійно-незалежні (тобто жоден з векторів можна виразити як лінійну комбінацію двох інших), а це означає, що ранг системи
даних векторів дорівнює 3.
19. Поняття векторного простору, евклідового простору. Розкладання вектора в по векторах його базису. Теорема про єдиності розкладання вектора в даному базисі.
n-мірним евклідовому векторних простором називається векторний простір в якому задані операції додавання векторів, множення вектора на число та скалярного множення векторів, що задовольняють аксіомам груп I, II, III і групи IV.
Векторним (або лінійним) простором називається безліч R, що складається з елементів будь-якої природи (званих векторами), в якому визначені операції додавання елементів і множення елементів на дійсні числа, що задовольняють умовам А (умови 1-3 висловлюють, що операція додавання, певна в В . п. перетворює його в комутативну групу).
Теорема. (Про розкладання вектора по базису.)
Будь-вектор векторного простору можна розкласти по його базису і притому єдиним способом.
Доведення. 1) Нехай L довільна пряма (або вісь) і -базіс. Візьмемо довільний вектор. Так як обидва вектори і колінеарні однієї і тієї ж прямої L, то. Скористаємося теоремою про коллинеарности двох векторів. Так як . то знайдеться (існує) таке число. що і тим самим ми отримали розкладання вектора по базису векторного простору.
Тепер доведемо єдиність такого розкладу. Припустимо противне. Нехай є два розкладання вектора по базису векторного простору:
і. де. Тоді і використовуючи закон дистрибутивности, отримуємо:
Так як . то з останньої рівності випливає, що. ч.т.д.
20. Поняття ортогональної системи векторів, ортогонального базису. Знаходження координат вектора в ортогональному базисі.
Базис евклідового простору називається ортогональним. якщо все що утворюють його вектори попарно ортогональні, тобто
Базис евклідового простору називається ортонормованим. якщо його вектори попарно ортогональні і довжина кожного з них дорівнює одиниці:
Теорема 8.5.В скінченномірному евклідовому просторі будь-яку систему ортогональних (ортонормованих) векторів можна доповнити до ортогонального (ортонормированного) базису.
Справді, за теоремою 8.2 будь-яку систему лінійно незалежних векторів, зокрема, ортогональную (ортонормированном), можна доповнити до базису. Застосовуючи до цього базису процес ортогоналізації, отримуємо ортогональний базис. Нормуючи вектори цього базису (див. Пункт 4 зауважень 8.11), отримуємо ортонормованій базис.
Якщо довжина вектора дорівнює одиниці, він називається нормованим вектором: (x, x) = 1, | x | = 1.
Якщо все вектори системи векторів нормовані, то система векторів називається нормованою системою.