Всі визначення і властивості лінійних перетворень зберігають своє значення і в евклідових просторах. Разом з тим наявність скалярного твори дозволяє виділити важливі приватні класи лінійних перетворень. До таких класів відносяться пов'язані і самосопряженних перетворення.
Лінійне перетворення f * з матрицею L * називається зв'язаним даним перетворенню f з матрицею L, якщо для будь-яких векторів з Rn маємо
З'ясуємо, як пов'язані матриці L і L * в деякому ортонормированном базисі.
За визначенням сполученого перетворення для будь-яких векторів ортонормированного базису вірно рівність
Образи базисних векторів мають вигляд а тоді
У підсумку = при будь-яких i і j і, отже, матриця сполученого перетворення виходить з матриці Lтранспонірованіем: L * = L T.
Зауважимо, що якщо L - ортогональна матриця, тобто L T = L-1. то поєднане перетворення є зворотне перетворення: L * = L-1.
Лінійне перетворення f називається самосопряженних. якщо для будь-яких векторів з Rn вірно рівність
Іншими словами, лінійне перетворення самосопряженних, якщо воно збігається зі своїм зв'язаним, тобто L = L T. У цьому випадку матриця Lсімметріческая.
Перелічимо основні властивості самосопряженних перетворень.
1 0. Всі власні значення самосопряженних перетворення дійсні.
Наприклад, для n = 2 характеристичне рівняння має вигляд або. Дискримінант квадратного тричлена неотрицателен і коріння трехчлена дійсні.
2 0. Власні вектори самосопряженних перетворення, що належать різним власним значенням, ортогональні.
Дійсно, нехай. тоді з рівності випливає, що що можливо тільки при
3 0. В евклідовому просторі існує ортонормованій базис з власних векторів самосопряженних лінійного перетворення. Дане твердження називають основною теоремою про самосопряженних перетвореннях. З нього випливає, зокрема,
Теорема.В базисі з одиничних власних векторів лінійного перетворення матриця цього перетворення діагональна. причому елементами головною діагоналі є її власні значення.
Дійсно, лінійне перетворення цілком визначено, якщо задані образи базисних векторів.
Але якщо базисними є одиничні вектори. то їх образи, що належать власним значенням мають вигляд
А тоді матриця такого лінійного перетворення діагональна:.
Завдання 0.64. Знайти власні значення і власні вектори самосопряженних перетворення з матрицею. Знайти ортонормованій базис з власних векторів і скласти матрицю переходу від вихідного базису до знайденого.
Рішення. Характеристичне рівняння має коріння
# 956; 1 = 0. # 956; 2 = # 956; 3 = 6. При # 956; 1 = 0 з системи рівнянь знаходимо відношення координат власного вектора х1. х2. х3 = 1: 2: 1 і тоді - перший власний вектор. при # 956; 2 = # 956; 3 = 6 система рівнянь зводиться до одного рівняння х1 + 2х2 + х3 = 0, тому ставлення координат власного вектора однозначно визначити не можна. своїм значенням # 956; = 6 відповідає безліч неколінеарних власних векторів, перпендикулярних вектору. З цих векторів можна довільним чином вибрати два ортогональних вектора. Наприклад, в якості візьмемо вектор. тому його координати задовольняють рівняння
х1 + 2х2 + х3 = 0. Тоді координати власного вектора. ортогонального векторах і. визначаються рівняннями. отримуємо
Очевидно, що власні вектори попарно ортогональні, тому що . Нормуючи їх, отримаємо шуканий базис:
Матриця переходу від вихідного базису до знайденого складається з координатних стовпців нового
§5. Квадратична форма, її матриця і канонічний вигляд.
Нехай в ортонормированном базисі симетрична матриця n - го порядку визначає самосопряженних лінійне перетворення f. Квадратичною формою. пов'язаної з перетворенням f називається функція k (), що ставить у відповідність кожному вектору деяке число за формулою:
Матриця L називається матрицею квадратичної форми k () в заданому базисі.
Завдання 0.65. Записати квадратичную форму, що має матрицю А =
Квадратична форма k () містить твори координат вектора і їх квадрати, тому іноді говорять, що квадратична форма - це однорідний многочлен другого ступеня від n змінних. Його прийнято записувати так, що діагональні елементи матриці L є коефіцієнтами при квадратах змінних, а кожен внедіагональний елемент дорівнює половині коефіцієнта при творі відповідних змінних.
Завдання 0.66. Квадратична форма має матрицю А. Знайдіть цю матрицю.
Рішення. Використовуючи зв'язок між коефіцієнтами квадратичної форми і елементами матриці, отримуємо: Відповідь.
Переходот базису до нового базису тягне за собою і перетворення координат вектора і зміна матриці лінійного перетворення L * = T -1 L T. І якщо базис ортонормованій, то матриця Т переходу до нового базису ортогональна, тобто Т T = Т -1. а тоді
L * = T T L T. Ця формула визначає закон зміни матриці квадратичної форми при заміні ортонормированного базису простору.
Представляє особливий інтерес новий базис. в якому квадратична форма приймає найбільш простий (канонічний вид).
Теорема. Для кожної квадратичної форми існує ортонормованій базис, в якому вона має так званий діагональний вигляд:
Доведення. За визначенням з кожної квадратичної формою пов'язана симетрична матриця L, яка є матрицею деякого самосопряженних перетворення.
За основною теоремою про самосопряженних перетвореннях в евклідовому просторі існує ортонормованій базис з власних векторів матриці L. У цьому базисі матриця L діагональна (див. Теорему §4), причому по головній діагоналі розташовані власні значення # 956; 1. # 956; 2, ..., # 956; n. Тому в зазначеному базисі квадратична форма має канонічний (діагональний) вид:
Завдання 0.67. Знайти базис, в якому квадратична форма має діагональний вигляд.
Рішення. Квадратична форма f з матрицею А = має діагональний вигляд в ортонормированном базисі з власних векторів матриці А. Характеристичне рівняння має корені # 956; 1 = -4, # 956; 2 = 1.
Знаходимо і нормуємо власні вектори.
Матриця переходу від старого базису до базису має вигляд. а тоді координати вектора (х1. х2) перетворюються за формулами:
В результаті квадратична форма приймає діагональний вид
Визначення. Число ненульових коефіцієнтів в квадратичної формі діагонального виду одно рангу її матриці і називається рангом квадратичної форми. Різниця між числом позитивних і числом негативних коефіцієнтів квадратичної форми діагонального виду називається сигнатурою квадратичної форми і позначається # 948 ;.
Обидва названих цифри не залежать від базису, в якому отримано діагональний вид квадратичної форми.
№1. Показати, що вектори утворюють базис в тривимірному лінійному просторі і знайти розкладання вектора по векторах цього базису. Виконати перевірку.
№2. Перший базис простору L3 складається з векторів. Другий базис складається з векторів Скласти формули, що виражають нові координати вектора через його старі координати при переході від першого базису до другого базису.
№3. Знайти власні значення і належать їм власні вектори матриці
№4. При якому значенні базис, утворений векторами і є ортогональним? Нормувати цей базис, якщо базис - ортонормованій.
№5. Знайти ортонормованій базис з власних векторів матриці квадратичної форми і скласти формули перетворення координат х, у і z при переході до нового базису. Квадратичну форму уявити в діагональному вигляді.