Розглянемо залежність амплітуди А вимушених коливань від частоти. Механічні і електромагнітні коливання будемо розглядати одночасно, називаючи коливну величину або зміщенням (х) коливається тіла з положення рівноваги, або зарядом (Q) конденсатора.
З формули (147.8) слід, що амплітуда А зміщення (заряду) має максимум. Щоб визначити резонансну частоту (рез - частоту, при якій амплітуда А зміщення (заряду) досягає максимуму, - потрібно знайти максимум функції (147.8), або, що те ж саме, мінімум подкоренного вираження. Продифференцировав подкоренное вираз по і прирівнявши нулю, отримаємо умову , що визначає рез:
Це рівність виконується при = 0, ±. у яких тільки позитивне значення має фізичний сенс. Отже, резонансна частота
Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти змушує сили (частоти змушує змінної напруги) до частоти рез називається резонансом (відповідно механічним або електричним). при <<значение рез практически совпадает с собственной частотой колебательной системы. Подставляя (148.1) в формулу (147.8), получим
На рис. 210 приведена залежність амплітуди вимушених коливань від частоти при різних значеннях. З (148.1) і (148.2) випливає, що чим менше. тим вище і правіше лежить максимум даної кривої. Якщо. то всі криві (див. також (147.8)) приходять до одного і того ж, відмінному від нуля, граничного значення. так званому статичному відхиленню. У разі механічних коливань =. в разі електромагнітних -. Якщо, то всі криві асимптотично наближаються до нуля. Наведена сукупність кривих називається резонансними кривими.
З формули (148.2) випливає, що при малому загасанні ( <<) резонансная амплитуда смещения (заряда)
де Q - добротність коливальної системи (див. (146,8)), - розглянуте вище статичне відхилення. Звідси випливає, що добротність Q характеризує резонансні властивості коливальної системи: чим більше Q. тим більше. На рис. 211 представлені резонансні криві для амплітуди швидкості (струму), Амплітуда швидкості (струму)
максимальна при рез = і дорівнює. т. е. чим більше коефіцієнт загасання. тим нижче максимум резонансної кривої.
Використовуючи формули (142.2), (146.10) і (143.4), (146.11), отримаємо, що амплітуда швидкості при механічному резонансі дорівнює (. А амплітуда струму при електричному резонансі
З виразу tg = 2 (див. (147,9)) випливає, що якщо загасання в системі відсутній (= 0), то тільки в цьому випадку коливання і змушує сила (прикладена змінна напруга) мають однакові фази; у всіх інших випадках.
Залежність від при різних коефіцієнтах графічно представлена на рис. 212, з якого випливає, що при зміні змінюється і зсув фаз. З формули (147.9) випливає, що при = 0 = 0, а при = незалежно від значення коефіцієнта загасання. т. е. сила (напруга) випереджає по фазі коливання на. При подальшому збільшенні зрушення фаз зростає і при >>. тобто фаза коливань майже протилежна фазі зовнішньої сили (змінної напруги). Сімейство кривих, зображених на рис. 212, називається фазовими резонансними кривими.
Явища резонансу можуть бути як шкідливими, так і корисними. Наприклад, при конструюванні машин і різного роду споруд необхідно, щоб власна частота коливань їх не збігалася з частотою можливих зовнішніх впливів, в іншому випадку виникнуть вібрації, які можуть викликати серйозні руйнування. З іншого боку, наявність резонансу дозволяє виявити навіть дуже слабкі коливання, якщо їх частота збігається з частотою власних коливань приладу. Так, радіотехніка, прикладна акустика, електротехніка використовують явище резонансу.